Эйлеровы интегралы

Э́йлеровы интегра́лы, интегралы вида

${\displaystyle B(a,b)=\int _{0}^{1}x^{a-1}(1-x)^{b-1}dx}$ (1)

(эйлеров интеграл 1-го рода, или бета-функция) и

${\displaystyle \Gamma (a)=\int _{0}^{\infty }x^{a-1}e^{-x}dx}$ (2)

(эйлеров интеграл 2-го рода, или гамма-функция).

Эйлеров интеграл 1-го рода изучался Л. Эйлером в 1730–1731 гг., ранее рассматривался И. Ньютоном и Дж. Валлисом; эйлеров интеграл 2-го рода рассматривался Эйлером в 1729–1730 гг. в форме, эквивалентной формуле (2); сама формула (2) встречается у него в 1781 г. (опубликовано в 1794); название «эйлеровы интегралы» дано А.-М. Лежандром.

Эйлеровы интегралы позволяют обобщить понятия биномиальных коэффициентов ${\displaystyle C_{n}^{m}}$ и факториала ${\displaystyle n!}$, ибо если ${\displaystyle a,b}$ – натуральные числа, то

${\displaystyle B(a,b)={\frac {1}{bC_{a+b-1}^{a-1}}},\quad \Gamma (a+1)=a!}$

Интегралы (1) и (2) абсолютно сходятся, если ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$ положительны, и не существуют, если ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$ отрицательны. Справедливы соотношения

${\displaystyle B(a,b)=B(b,a),\quad B(a,b)={\frac {\Gamma (a)\Gamma (b)}{\Gamma (a+b)}}}$;

последнее сводит изучение бета-функции к изучению гамма-функции. Существует ряд соотношений между эйлеровыми интегралами при различных значениях аргументов, обобщающих соответствующие соотношения между биномиальными коэффициентами. Эйлеровы интегралы можно рассматривать и при комплексных значениях аргументов. Эйлеровы интегралы встречаются во многих вопросах теории специальных функций, к ним сводятся многие определённые интегралы, не выражаемые элементарно. Эйлеровым интегралом называют также интеграл

${\displaystyle \int _{0}^{1}u^{b-1}(1-u)^{c-b-1}(1-xu)^{-a}du=}$
${\displaystyle ={\frac {\Gamma (b)\Gamma (c-b)}{\Gamma (c)}}F(a,b,c,x),}$

выражающий гипергеометрическую функцию ${\displaystyle F(a,b,c,x)}$.