Гамильтонова система

Гамильто́нова систе́ма, система обыкновенных дифференциальных уравнений для ${\displaystyle 2n}$ неизвестных ${\displaystyle p=\left(p_{1},\ldots ,p_{n}\right)}$ («обобщённые импульсы») и ${\displaystyle q=\left(q_{1},\ldots ,q_{n}\right)}$ («обобщённые координаты»), имеющая вид:

${\displaystyle {\frac {dp_{i}}{dt}}=-{\frac {\partial H}{\partial q_{i}}},\quad {\frac {dq_{i}}{dt}}={\frac {\partial H}{\partial p_{i}}},\quad i=1,\ldots ,n,}$ (1)

где ${\displaystyle H}$ – некоторая функция от ${\displaystyle (p,q,t)}$, называемая функцией Гамильтона, или гамильтонианом, системы (1). Гамильтоновы системы называются также каноническими, а в автономном случае (когда ${\displaystyle H}$ не зависит явно от ${\displaystyle t}$) иногда и консервативными системами, поскольку в этом случае функция ${\displaystyle H}$ (имеющая во многих примерах физический смысл энергии) является первым интегралом (т. е. энергия сохраняется при движении).

В механике гамильтоновы системы описывают движение при голономных связях и силах, имеющих потенциал (см. Уравнения Гамильтона). Многие задачи теоретической физики также приводят к гамильтоновым системам или к таким уравнениям с частными производными, которые имеют близкие свойства и могут рассматриваться как бесконечномерные аналоги гамильтоновых систем. Уравнениям квантовой механики можно придать вид гамильтоновых систем, в которых, однако, ${\displaystyle p_{i}(t)}$ и ${\displaystyle q_{i}(t)}$ являются не числовыми функциями времени, а (зависящими от ${\displaystyle t}$) самосопряжёнными линейными операторами, удовлетворяющими определённым перестановочным соотношениям. Гамильтоновы системы (в обычном смысле слова) играют важную роль при исследованиях некоторых асимптотических задач для уравнений с частными производными (коротковолновая асимптотика для волнового уравнения, квазиклассическая асимптотика в квантовой механике).

Тесно связаны с гамильтоновыми системами различные вариационные принципы. Принцип Гельмгольца (см., например, Леви-Чивита. 1951^[1]) непосредственно приводит к гамильтоновой системе, однако он употребляется редко. Наибольшее значение имеет принцип Гамильтона – Остроградского (принцип стационарного действия), который непосредственно приводит к уравнениям Лагранжа; при выполнении некоторых дополнительных условий типа невырожденности от последних можно перейти к гамильтоновым системам с помощью преобразования Лежандра (см. Функция Гамильтона, Уравнения Гамильтона), если в вариационный принцип входят производные только 1-го порядка. Несколько сложнее осуществляется предложенный М. В. Остроградским переход к гамильтоновым системам в том случае, когда вариационный принцип содержит производные порядка выше первого (см., например, Уиттекер. 1937^[2]).

Если ${\displaystyle H}$ не зависит явно от ${\displaystyle q_{i}}$, то ${\displaystyle p_{i}=\operatorname {const} }$ – первый интеграл. В этом случае координату ${\displaystyle q_{i}}$ называют циклической (в некоторых случаях она имеет физический или геометрический смысл угловой переменной), или игнорируемой. Такую координату ${\displaystyle q_{i}}$ и соответствующий ей импульс ${\displaystyle p_{i}}$ можно исключить и тем самым перейти к гамильтоновым системам с меньшим числом неизвестных. Более общо, при наличии ${\displaystyle k}$ независимых первых интегралов в инволюции возможно понижение порядка гамильтоновых систем на ${\displaystyle 2k}$ (по крайней мере, в некоторой области изменения переменных и с заменой времени), и при этом снова получается гамильтонова система. Если все координаты циклические, то гамильтонова система называется (вполне) интегрируемой; нахождение её решений и качественное исследование их свойств уже не требует решения дифференциальных уравнений.

Первые интегралы гамильтоновых систем часто получаются из теоремы Нётер: если функция Лагранжа (или лагранжиан) инвариантна относительно некоторой непрерывной группы преобразований, то соответствующая гамильтонова система имеет первые интегралы определённого вида (см., например, Арнольд. 1974^[3]). Другое общее соображение, позволяющее иногда проинтегрировать гамильтонову систему, состоит в переходе к вспомогательному уравнению с частными производными – т. н. уравнению Гамильтона – Якоби (см. Теория Гамильтона – Якоби). Посредством разделения переменных в подходящих координатах иногда удаётся найти полный интеграл последнего, тогда теорема Якоби позволяет сравнительно легко проинтегрировать гамильтонову систему. [Связь между гамильтоновой системой и уравнением Гамильтона – Якоби является двусторонней: решение последнего сводится к интегрированию соответствующей гамильтоновой системы. Исторически эта связь вместе с аналогией между механикой и геометрической оптикой (см. Парс. 1971.^[4] С. 548) способствовала открытию гамильтоновой системы (принцип Гюйгенса в оптике сразу приводит к уравнению эйконала – уравнению типа уравнения Гамильтона – Якоби)].

Для гамильтоновых систем, близких к интегрируемым, разработаны специфические методы приближённого интегрирования и качественного исследования свойств решений. Родственные методы служат также для исследования поведения траекторий гамильтоновых систем в окрестности положений равновесия, периодических или квазипериодических решений. Могут использоваться и методы, не связанные специально с гамильтоновыми системами, однако и тогда специфика гамильтоновых систем может позволить упростить вычисления или, наоборот, усложнить задачу (поскольку с точки зрения общего метода гамильтоновы системы могут оказаться «исключительными» – так, например, обстоит дело с устойчивостью). См. в статьях Адиабатический инвариант, Метод малого параметра, Малые знаменатели, Осреднение.

Пусть ${\displaystyle \varphi _{t}(z)}$ – решение гамильтоновой системы (1), проходящее при ${\displaystyle t=0}$ через точку ${\displaystyle z=(p,q)\in \mathbb {R} ^{2n}}$. Гамильтонова система однозначно характеризуется тем, что (локальные) диффеоморфизмы ${\displaystyle \varphi _{t}}$ переводят внешнюю дифференциальную форму

${\displaystyle \omega =\sum _{i=1}^{n}dp_{i}\wedge dq_{i}}$ (2)

(т. н. интегральный инвариант Пуанкаре) снова в ${\displaystyle \omega }$; этот факт в других терминах отмечался ещё М. В. Остроградским и Г. Гельмгольцем; последний говорил о «свойстве взаимности» (см. Леви-Чивита. 1951). Диффеоморфизмы, сохраняющие ${\displaystyle \omega }$, называются каноническими преобразованиями (или каноническими заменами переменных); они не только естественно возникают из гамильтоновой системы, но и переводят любую гамильтонову систему снова в гамильтонову систему. (Последним свойством обладают и обобщённые канонические преобразования, переход к которым, впрочем, не является особенно существенным расширением рассматриваемого класса преобразований.) При этом гамильтониан новой системы легко выражается через исходный гамильтониан и производящую функцию ${\displaystyle S}$ канонического преобразования (которое удобно задавать именно с помощью ${\displaystyle S}$). Таким образом, имея дело с гамильтоновой системой и производя каноническую замену переменных, можно производить вычисления всего с двумя функциями ${\displaystyle H}$ и ${\displaystyle S}$ (тогда как в общем случае замены переменных в системе дифференциальных уравнений пришлось бы рассматривать гораздо больше функций); в этом состоит т. н. канонический формализм, существенно упрощающий вычисления в пределах своей применимости. Он широко используется в небесной механике и теоретической физике.

Определение гамильтоновой системы в терминах интегрального инварианта приводит к естественному обобщению, когда вместо формы (2) в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$ речь идёт о заданной на некотором многообразии ${\displaystyle M}$ чётной размерности ${\displaystyle 2n}$ внешней дифференциальной форме ${\displaystyle \omega }$ 2-го порядка, причём ${\displaystyle \omega }$ замкнута (внешний дифференциал ${\displaystyle d\omega =0}$) и всюду ${\displaystyle \omega ^{n}=\omega \wedge \ldots \wedge \omega \neq 0}$ (тогда говорят, что на ${\displaystyle M}$ задана симплектическая структура). Ещё более общей является трактовка гамильтоновой системы не как динамической системы, а как конгруэнции, когда траектории рассматривают просто как семейство линий с определёнными свойствами и не обращают внимания на скорость движения по ним. [Систему (1) можно включить в эту схему, рассматривая графики решений ${\displaystyle p=p(t)}$, ${\displaystyle q=q(t)}$ в пространстве ${\displaystyle (p,q,t)}$; при этом вместо (2) большую роль играет интегральный инвариант Пуанкаре – Картана ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}p_{i}\,dq_{i}-Hdt}$.] Собственно, когда с помощью первых интегралов понижается порядок гамильтоновой системы (1), то получается гамильтонова система именно в этом обобщённом смысле (Арнольд. 1974).

О свойствах гамильтоновых систем, не являющихся интегрируемыми или близкими к таковым, известно мало (не считая названных выше вопросов о локальном поведении траекторий). Сохранение ${\displaystyle \omega }$ влечёт сохранение элемента объёма ${\displaystyle \omega ^{n}}$ (теорема Лиувилля; обратное неверно, исключая малые размерности). Поэтому гамильтоновы системы принадлежат к числу систем с инвариантной мерой, изучаемых в эргодической теории.