Первый интеграл

Пе́рвый интегра́л обыкновенного дифференциального уравнения, отличная от постоянной непрерывно дифференцируемая функция, производная которой вдоль решений данного уравнения тождественно равна нулю. Для скалярного уравнения

${\displaystyle y'=f(x,y)}$ (*)

первый интеграл есть функция ${\displaystyle F(x,y)}$ из левой части общего решения ${\displaystyle F(x,y)=C}$, где ${\displaystyle C}$ – произвольная постоянная. Функция ${\displaystyle F(x,y)}$ удовлетворяет линейному уравнению

${\displaystyle {\dfrac {\partial F(x,y)}{\partial x}}+{\dfrac {\partial F(x,y)}{\partial y}}f(x,y)=0}$

с частными производными 1-го порядка. Первый интеграл может не существовать во всей области задания уравнения ${\displaystyle (*)}$, однако в малой окрестности точки, для которой функция ${\displaystyle f(x,y)}$ непрерывно дифференцируема, он всегда существует. Первый интеграл определяется не единственным образом. Так, для уравнения ${\displaystyle y'=-x/y}$ первый интеграл является как функция ${\displaystyle x^{2}+y^{2}}$, так, например, и функция ${\displaystyle e^{x^{2}+y}}$.

Знание первого интеграла нормальной системы

${\displaystyle {\text{ẋ}}=f(x,t),\quad x\in {\bf {R}}^{n}}$

позволяет понизить порядок этой системы на единицу, а отыскание ${\displaystyle n}$ функционально независимых первых интегралов равносильно отысканию общего решения в неявном виде. Если ${\displaystyle F_{1}(x,y),\ldots ,F_{n}(x,y)}$ – функционально независимые первые интегралы, то всякий другой первый интеграл можно представить в виде

${\displaystyle F(x,t)=\Phi (F_{1}(x,t),\ldots ,F_{n}(x,t))}$,

где ${\displaystyle \Phi }$– некоторая дифференцируемая функция.