Преобразование Лежандра

Преобразова́ние Лежа́ндра, преобразование математического анализа, осуществляющее двойственность между объектами в дуальных пространствах (наряду с проективной двойственностью в аналитической геометрии и полярной двойственностью в выпуклой геометрии). Пусть ${\displaystyle f:A\rightarrow \mathbb {R} }$ – гладкая функция, рассматриваемая на открытом множестве ${\displaystyle A}$ нормированного пространства ${\displaystyle X}$ и обладающая тем свойством, что отображение ${\displaystyle x\rightarrow f'(x)}$ (здесь ${\displaystyle f'(x)}$ – производная Фреше функции ${\displaystyle f}$) взаимно однозначно отображает ${\displaystyle A}$ на множество ${\displaystyle B\subset X^{*}}$. Тогда преобразование Лежандра функции ${\displaystyle f}$ — это функция на ${\displaystyle B}$, определённая формулой

${\displaystyle f^{*}(x^{*})=\langle x^{*},(f')^{-1}(x^{*})\rangle -f((f')^{-1}(x^{*})).}$ (1)

В случае, если ${\displaystyle f}$ – функция на ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ и при этом определитель ${\displaystyle \operatorname {det} \left({\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{i}\partial x^{j}}}\right)}$ отличен от нуля в области ${\displaystyle A}$, преобразование Лежандра задаётся формулами

${\displaystyle f'(x)=y,\quad f^{*}(y)=\langle x,f'(x)\rangle -f(x);}$ (1')

здесь

${\displaystyle \langle x,y\rangle =\sum _{i=1}^{n}x^{i}y^{i},\quad f'(x)=\left({\frac {\partial f}{\partial x^{1}}},\ldots ,{\frac {\partial f}{\partial x^{n}}}\right)}$.

Преобразование ${\displaystyle x\rightarrow f^{*}(f'(x))}$ встречается ещё у Г. Лейбница (G. Leibniz), в общем виде определено A. Лежандром (A. Legendre, 1789), хотя ранее рассматривалось также Л. Эйлером (L. Euler, 1776).

В случае, если ${\displaystyle f}$ – конечномерная функция, являющаяся гладкой, строго выпуклой и растущей на бесконечности быстрее линейной функции, то преобразование Лежандра можно определить так:

${\displaystyle f^{*}(x^{*})=\max _{x\in \mathbb {R} ^{n}}(\langle x^{*},x\rangle -f(x)).}$ (2)

Выражение (2) с заменой ${\displaystyle \max }$ на ${\displaystyle \sup }$ было положено (Гурса Э., 1936) в основу теории двойственности выпуклых функций (см. Сопряжённая функция).

Примеры. Преобразованием Лежандра функции

${\displaystyle f_{p}(x)={\frac {\mid x\mid ^{p}}{p}},\quad 1<p<\infty }$,

одного переменного будет функция

${\displaystyle f_{p'}(y)={\frac {\mid y\mid ^{p'}}{p'}},\quad {\frac {1}{p}}+{\frac {1}{p'}}=1}$.

Преобразованием Лежандра функции ${\displaystyle (x,x)/2}$ в гильбертовом пространстве ${\displaystyle X}$ со скалярным произведением ${\displaystyle (\cdot ,\cdot )}$ будет функция ${\displaystyle (y,y)/2}$.

Преобразование Лежандра, основанное на замене переменных ${\displaystyle x\rightarrow y=f'(x)}$, является частным случаем преобразования прикосновения; сущность преобразования Лежандра заключается в возможности двойственного описания поверхности в пространстве – как множества точек ${\displaystyle (x,f(x))}$ и как огибающей семейства её касательных плоскостей, задаваемых парой ${\displaystyle (x^{*},\langle x^{*},\cdot \rangle -f^{*}(x^{*}))}$, состоящей из линейного функционала ${\displaystyle x^{*}}$ и аффинной касательной функции ${\displaystyle x\rightarrow \langle x^{*},x\rangle -f^{*}(x^{*})}$.

Преобразование Лежандра играет важную роль в анализе, особенно в выпуклом анализе, в теории дифференциальных уравнений, в вариационном исчислении (Carathéodory C., 1935), в классической механике, термодинамике, теории упругости и других разделах математической физики. Так, применение преобразования Лежандра к решению ${\displaystyle y}$ дифференциального уравнения ${\displaystyle F(x,y,y')=0}$ переводит его в решение ${\displaystyle Y}$ уравнения ${\displaystyle F(Y',XY'-Y,X)}$, где ${\displaystyle X=y'(x)}$, ${\displaystyle Y(X)=y^{*}(X)}$, которое иногда интегрируется проще исходного. Применение преобразования Лежандра к лагранжиану задачи классического вариационного исчисления переводит его в функцию Гамильтона. При этом система уравнений Эйлера (в вариационном исчислении) и уравнения Лагранжа (в классической механике) переходят в эквивалентную систему канонических уравнений. В термодинамике преобразование Лежандра осуществляет переход от одних функций состояния к другим, например, от удельного объёма и энтропии к температуре и давлению.