Теорема Лиувилля

Теоре́ма Лиуви́лля, теорема о сохранении фазового объёма при движении механической системы, происходящем в соответствии с уравнениями Гамильтона. Установлена Ж. Лиувиллем в 1838 г.

Для геометрической интерпретации механического движения используется понятие фазового пространства – пространства ${\displaystyle 2n}$ измерений, координатами которого являются обобщённые координаты ${\displaystyle q_{1},\ldots ,q_{n}}$ и обобщённые импульсы ${\displaystyle p_{1},\ldots ,p_{n}}$ данной механической системы (${\displaystyle n}$ – число её степеней свободы). Каждая точка этого пространства отвечает некоторому состоянию системы. Изменение состояния системы со временем представляется как движение фазовой точки в ${\displaystyle 2n}$-мерном пространстве. Элементарный объём фазового пространства равен ${\displaystyle dV=dq_{1}...dq_{n}dp_{1}...dp_{n}}$. Тогда интеграл ${\displaystyle \int dV}$, взятый по области ${\displaystyle G}$ фазового пространства, равен объёму ${\displaystyle V_{G}}$ этой области и называется фазовым объёмом.

Если в начальный момент времени ${\displaystyle t_{0}}$ фазовые точки ${\displaystyle (q^{0},p^{0})}$ непрерывно заполняли некоторую область ${\displaystyle G_{0}}$, а в момент времени ${\displaystyle t>t_{0}}$ заняли другую область ${\displaystyle G}$ этого пространства, то для системы, движение которой описывается уравнениями Гамильтона, согласно теореме Лиувилля соответствующие фазовые объёмы равны между собой: ${\displaystyle V_{G}=V_{G0}}$ при любом ${\displaystyle t}$.

Теорема Лиувилля является следствием того, что якобиан преобразования от переменных${\displaystyle (q^{0},p^{0})}$ к переменным ${\displaystyle (q,p)}$ (т. е. якобиан канонического преобразования) согласно уравнениям Гамильтона равен единице.

Теорема Лиувилля играет важную роль в статистической физике, т. к. позволяет ввести функцию распределения плотности вероятности нахождения фазовой точки в элементе фазового объёма ${\displaystyle dV}$ и вывести для неё уравнение Лиувилля.