Аналитическая теория дифференциальных уравнений

Рассмотрим систему из ${\displaystyle n}$ уравнений в матричной записи

${\displaystyle {\dot {x}}=A(t)x+f(t).}$ (1)

1. Пусть матрицы ${\displaystyle A(t),f(t)}$ голоморфны в области ${\displaystyle G\subset C(t)}$ [${\displaystyle C(t)}$ – комплексная плоскость переменной ${\displaystyle t}$]. Тогда всякое решение системы (1) аналитично в ${\displaystyle G}$ (но, вообще говоря, неоднозначно, если область ${\displaystyle G}$ неодносвязна). Предположим, что ${\displaystyle A(t)}$ мероморфна в области ${\displaystyle G}$, и рассмотрим однородную систему

${\displaystyle {\dot {x}}=A(t)x.}$ (2)

[Матрица ${\displaystyle A(t)}$ называется голоморфной (мероморфной) в области ${\displaystyle G}$, если все её элементы голоморфны (мероморфны) в этой области]. Точка ${\displaystyle t_{0}\in G}$ называется полюсом матрицы ${\displaystyle A(t)}$ порядка ${\displaystyle \nu \geqslant 1}$, если в некоторой окрестности этой точки

${\displaystyle {\begin{aligned}A(t)=A_{-\nu }\left(t-t_{0}\right)^{-\nu }+A_{-\nu +1}\left(t-t_{0}\right)^{-\nu +1}+\cdots \\\cdots +A_{-1}\left(t-t_{0}\right)^{-1}+B(t),\end{aligned}}}$

где ${\displaystyle A_{-j}}$ – постоянные матрицы, ${\displaystyle A_{-\nu }\neq 0}$, а матрица ${\displaystyle B(t)}$ голоморфна в точке ${\displaystyle t_{0}}$. Полюс ${\displaystyle t_{0}\neq \infty }$ порядка ${\displaystyle \nu }$ называется регулярной особой точкой при ${\displaystyle \nu =1}$ и иррегулярной особой точкой при ${\displaystyle \nu \geqslant 2}$. Случай ${\displaystyle t_{0}=\infty }$ сводится к случаю ${\displaystyle t_{0}=0}$ заменой ${\displaystyle t\rightarrow t^{-1}}$. Hиже ${\displaystyle t_{0}\neq \infty }$.

2. Пусть ${\displaystyle t_{0}}$ – полюс матрицы ${\displaystyle A(t)}$. Тогда существует фундаментальная матрица ${\displaystyle X(t)}$ системы (2) вида

${\displaystyle X(t)=\Phi (t)\left(t-t_{0}\right)^{D},}$ (3)

где ${\displaystyle D}$ – постоянная матрица, ${\displaystyle \Phi (t)}$ голоморфна при ${\displaystyle \left|t-t_{0}\right|<\rho }$, если ${\displaystyle t_{0}}$ – регулярная особая точка, и ${\displaystyle \Phi (t)}$ голоморфна при ${\displaystyle 0<\left|t-t_{0}\right|<\rho }$, если ${\displaystyle t_{0}}$ – иррегулярная особая точка, для некоторого ${\displaystyle \rho >0}$ [здесь ${\displaystyle \left(t-t_{0}\right)^{D}=\exp(\ln(t-t_{0})^{D})}$ по определению]. Для регулярной особой точки матрица ${\displaystyle D}$ выражается через ${\displaystyle A(t)}$ в явном виде (Коддингтон. 1958^[1]; Вазов. 1968^[2]); для иррегулярных особых точек это не так.

Аналогичная классификация особых точек вводится для дифференциальных уравнений порядка ${\displaystyle n}$ с мероморфными коэффициентами. Дифференциальные уравнения и системы, все особые точки которых регулярны, называются дифференциальными уравнениями (системами) класса Фукса. Общий вид матрицы ${\displaystyle A(t)}$ для такой системы:

${\displaystyle \left(t-t_{j}\right)^{-1}A_{j},\quad A_{j}=\operatorname {const} ,\quad k<\infty }$.

Примером дифференциального уравнения класса Фукса является гипергеометрическое уравнение.

3. Пусть ${\displaystyle A(t)=t^{q}B(t)}$, ${\displaystyle q\geqslant 0}$ – целое, ${\displaystyle B(t)}$ голоморфна при ${\displaystyle t=\infty }$ [это иррегулярная особая точка, если ${\displaystyle B(\infty )\neq 0}$]. Если ${\displaystyle S}$ – достаточно узкий сектор вида ${\displaystyle |t|>R}$, ${\displaystyle \alpha <\arg t<\beta }$, то существует фундаментальная матрица вида

${\displaystyle X(t)=P(t)t^{Q}\exp(R(t)),}$ (4)

где ${\displaystyle Q}$ – постоянная матрица, ${\displaystyle R(t)}$ – диагональная матрица, элементы которой суть полиномы от ${\displaystyle t^{1/p}}$, ${\displaystyle p\geqslant 1}$ – целое и

${\displaystyle P(t)\sim \sum _{j=0}^{\infty }P_{j}t^{-j/p}}$

при ${\displaystyle |t|\rightarrow \infty }$, ${\displaystyle t\in S}$. Вся плоскость ${\displaystyle C(t)}$ разбивается на конечное число секторов, в каждом из которых есть фундаментальная матрица вида (4) (Birkhoff. 1909^[3]; Trjitzinsky. 1933^[4]).

4. При аналитическом продолжении вдоль замкнутого пути ${\displaystyle \gamma }$ фундаментальная матрица ${\displaystyle X(t)}$ умножается на ${\displaystyle B_{\gamma }:X(t)\rightarrow X(t)B_{\gamma }}$, где ${\displaystyle B_{\gamma }}$ – постоянная матрица; возникает группа монодромии дифференциального уравнения. И. А. Лаппо-Данилевским (Лаппо-Данилевский. 1957) была исследована проблема Римана: пусть ${\displaystyle A(t)}$ – рациональная функция от ${\displaystyle t}$, и пусть известны особенности фундаментальной матрицы ${\displaystyle X(t)}$; требуется найти ${\displaystyle A(t)}$.

5. Пусть функция ${\displaystyle z=\varphi (t)}$ конформно отображает верхнюю полуплоскость ${\displaystyle \operatorname {Im} t>0}$ на внутренность многоугольника, граница которого состоит из конечного числа отрезков прямых и дуг окружностей. Тогда функция ${\displaystyle \varphi (t)}$ удовлетворяет уравнению Шварца

${\displaystyle \{z,t\}={\frac {z^{\prime \prime \prime }}{z^{\prime }}}-{\frac {3}{2}}\left({\frac {z^{\prime \prime }}{z^{\prime }}}\right)^{2}=R(t),}$ (5)

где ${\displaystyle R(t)}$ – рациональная функция, причём уравнение

${\displaystyle w^{\prime \prime }+{\frac {1}{2}}R(t)w=0}$ (6)

принадлежит классу Фукса. Любое решение уравнения (5) может быть представлено в виде ${\displaystyle z=w_{1}/w_{2}}$, где ${\displaystyle w_{1}}$, ${\displaystyle w_{2}}$ – линейно независимые решения уравнения (6). Пусть ${\displaystyle G}$ – бесконечная дискретная группа, ${\displaystyle \varphi (t)}$ – автоморфная функция группы ${\displaystyle G}$; тогда ${\displaystyle \varphi (t)}$ может быть представлена в виде ${\displaystyle \varphi =w_{1}/w_{2}}$, где ${\displaystyle w_{1},w_{2}}$ – линейно независимые решения уравнения (6) и ${\displaystyle R(t)}$ – некоторая алгебраическая функция.

1. Рассмотрим задачу Коши:

${\displaystyle {\dot {x}}=f(t,x),\quad x\left(t_{0}\right)=x^{0},}$ (7)

здесь ${\displaystyle t\in C(t)}$, ${\displaystyle x=\left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right)\in C^{n}(x)}$, ${\displaystyle f=\left(f_{1},\ldots ,f_{n}\right)}$.

Теорема Коши: пусть функция ${\displaystyle f(t,x)}$ голоморфна по ${\displaystyle (t,x)}$ в области ${\displaystyle G\subset C(t)\times C^{n}(x)}$ и ${\displaystyle \left(t_{0},x^{0}\right)\in G}$. Тогда существует ${\displaystyle \delta >0}$, такое что в области ${\displaystyle \left|t-t_{0}\right|<\delta }$ существует решение ${\displaystyle x\left(t;t_{0},x^{0}\right)}$ задачи Коши (7), единственное и голоморфное.

Аналитическое продолжение решения ${\displaystyle x\left(t;t_{0},x^{0}\right)}$ также будет решением системы (7), однако полученная в результате продолжения функция может иметь особенности и, вообще говоря, будет неоднозначной функцией от ${\displaystyle t}$. Возникают вопросы: какие особенности может иметь эта функция, как устроено решение в целом? В линейном случае получены окончательные ответы на эти вопросы. В нелинейном случае ситуация значительно сложнее и не выяснена достаточно полно даже в том случае, когда ${\displaystyle f_{j}(t,x)}$ – рациональные функции от ${\displaystyle t,x}$.

2. Рассмотрим одно дифференциальное уравнение

${\displaystyle {\frac {dx}{dt}}={\frac {P(t,x)}{Q(t,x)}},}$ (8)

где ${\displaystyle t\in C}$, ${\displaystyle x\in C}$, а ${\displaystyle P}$ и ${\displaystyle Q}$ – голоморфные по ${\displaystyle (t,x)}$ функции в некоторой области ${\displaystyle G}$. Точка ${\displaystyle \left(t_{0},x_{0}\right)\in G}$ называется (существенно) особой точкой уравнения (8), если ${\displaystyle P\left(t_{0},x_{0}\right)=0}$, ${\displaystyle Q\left(t_{0},x_{0}\right)=0}$. Выясним структуру решений в окрестности особой точки уравнения. Разложим ${\displaystyle P}$ и ${\displaystyle Q}$ в ряды Тейлора:

${\displaystyle {\begin{aligned}&P(t,x)=a_{11}\left(x-x_{0}\right)+a_{12}\left(t-t_{0}\right)+\ldots ,\\&Q(t,x)=a_{21}\left(x-x_{0}\right)+a_{22}\left(t-t_{0}\right)+\ldots ,\end{aligned}}}$

и пусть ${\displaystyle \lambda _{1},\lambda _{2}}$ – собственные значения матрицы ${\displaystyle \left\|a_{ij}\right\|}$. Имеет место теорема: пусть ${\displaystyle \lambda _{j}\neq 0}$ и ни одно из чисел${\displaystyle \lambda _{1}/\lambda _{2}}$, ${\displaystyle \lambda _{2}/\lambda _{1}}$ не является: а) целым неотрицательным числом, б) действительным отрицательным числом. Тогда существуют окрестность ${\displaystyle U}$ точки ${\displaystyle \left(t_{0},x_{0}\right)}$, окрестность ${\displaystyle V}$ точки ${\displaystyle {\tilde {t}}=0}$, ${\displaystyle {\tilde {x}}=0}$ и функции ${\displaystyle {\tilde {t}}={\tilde {t}}(t,x)}$, ${\displaystyle {\tilde {x}}={\tilde {x}}(t,x)}$, такие что отображение ${\displaystyle U\rightarrow V}$, задаваемое этими функциями, является биголоморфным; дифференциальное уравнение (8) в новых переменных принимает вид (Bieberbach. 1953^[5])

${\displaystyle {\frac {d{\tilde {x}}}{d{\tilde {t}}}}={\frac {\lambda _{1}{\tilde {x}}}{\lambda _{2}{\tilde {t}}}}}$.

Все решения уравнения (8) в новых переменных записываются в виде ${\displaystyle {\tilde {x}}=C{\tilde {t}}^{\lambda _{1}/\lambda _{2}}}$ и ${\displaystyle {\tilde {x}}\equiv 0}$. Таким образом, особая точка уравнения является точкой ветвления бесконечного порядка для всех решений уравнения (8) (кроме тривиальных). Особые точки решения, совпадающие с особыми точками уравнения, называются неподвижными. В отличие от линейного случая, решение нелинейного уравнения может иметь особые точки не только в особых точках уравнения; такие особые точки решения называются подвижными. Справедлива теорема Пенлеве: решения уравнения

${\displaystyle P(t,x,{\dot {x}})=0}$,

где ${\displaystyle P}$ – многочлен от ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle {\dot {x}}}$ с голоморфными по ${\displaystyle t}$ коэффициентами, не имеют подвижных трансцендентных особых точек (см. Голубев. 1950^[6]).

Если в уравнении (8) ${\displaystyle P}$ и ${\displaystyle Q}$ суть многочлены от ${\displaystyle t,x}$, то в силу теоремы Пенлеве все подвижные особые точки являются алгебраическими. При замене ${\displaystyle t=1/t^{\prime }}$, ${\displaystyle x=x^{\prime }/t^{\prime }}$, уравнение (8) примет вид

${\displaystyle {\frac {dx^{\prime }}{dt^{\prime }}}={\frac {P_{1}\left(t^{\prime },x^{\prime }\right)}{Q_{1}\left(t^{\prime },x^{\prime }\right)}}}$,

где ${\displaystyle P_{1}}$, ${\displaystyle Q_{1}}$ – многочлены. Пусть ${\displaystyle x_{j}}$ – корни уравнения ${\displaystyle P_{1}\left(0,x^{\prime }\right)=0}$. Точки ${\displaystyle \left(0,x_{j}^{\prime }\right)}$ называются бесконечно удалёнными особыми точками уравнения (8); структуру решений в окрестности этих точек описывает приведённая выше теорема (Bieberbach. 1953).

Пусть ${\displaystyle P,Q}$ – многочлены степени ${\displaystyle n}$. Поскольку ${\displaystyle P,Q}$ определяются своими коэффициентами и пара ${\displaystyle (\lambda P,\lambda Q)}$ задаёт то же уравнение, получают взаимно однозначное соответствие между уравнениями (8) и точками комплексного проективного пространства ${\displaystyle \mathbb {CP} ^{N}}$ ${\displaystyle (N=(n+1)\times (n+2)-1)}$. Имеет место теорема: если удалить из ${\displaystyle \mathbb {CP} ^{N}}$ некоторое множество меры нуль, то оставшиеся уравнения (8) обладают следующим свойством: все решения ${\displaystyle x=x(t)}$ всюду плотны в ${\displaystyle C^{2}=C(t)\times C(x)}$ ( Худай-Веренов. 1962^[7]).

3. Рассмотрим автономную систему

${\displaystyle {\dot {x}}=f(x),}$ (9)

${\displaystyle t\in C(t)}$, ${\displaystyle x\in C^{n}(x)}$, ${\displaystyle f=\left(f_{1},\ldots ,f_{n}\right)}$. Точка ${\displaystyle x^{0}}$ называется особой точкой системы (9), если ${\displaystyle f\left(x^{0}\right)=0}$. Справедлива теорема Пуанкаре. Пусть ${\displaystyle x^{0}}$ – особая точка автономной системы (9). Пусть, кроме того: а) элементарные делители матрицы Якоби ${\displaystyle f^{\prime }(x^{0})}$ простые и б) собственные значения ${\displaystyle \lambda _{j}}$ этой матрицы лежат по одну сторону от некоторой прямой в ${\displaystyle C(\lambda )}$, проходящей через начало координат. Тогда существуют окрестности ${\displaystyle U,V}$ точек ${\displaystyle x=x^{0}}$, ${\displaystyle {\tilde {x}}=0}$ и биголоморфное отображение ${\displaystyle x=x}$ ${\displaystyle ({\tilde {x}}:V\rightarrow U)}$, такое что в переменных ${\displaystyle {\tilde {x}}}$ автономная система (9) имеет вид (Немыцкий, Степанов. 1949):

${\displaystyle {\frac {d{\tilde {x}}_{j}}{dt}}=\lambda _{j}{\tilde {x}}_{j},\quad 1\leqslant j\leqslant n}$.

В том случае, когда выполнено только условие а), можно с помощью преобразования ${\displaystyle x=\varphi ({\tilde {x}})}$, где ${\displaystyle \varphi ({\tilde {x}})}$ – формальный степенной ряд, привести систему (9) в окрестности особой точки к системе, которая интегрируется в квадратурах (Немыцкий. 2017^[8]; Брюно.1964^[9]). Однако сходимость этих рядов доказана при предположениях, близких к а), б). В случае, когда функция ${\displaystyle f(x)}$ и преобразование ${\displaystyle x=\varphi ({\tilde {x}})}$ вещественны при вещественных ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle {\tilde {x}}}$, доказана теорема (Зигель. 1961), аналогичная теореме Пуанкаре. Структура решений автономной системы (9) в целом, где ${\displaystyle f_{j}(x)}$ – полиномы и ${\displaystyle n\geqslant 3}$, не исследована.