Многочлены Чебышёва

Многочле́ны Чебышёва, система ортогональных многочленов на отрезке ${\displaystyle -1\leqslant x\leqslant 1}$, открытая П. Л. Чебышёвым (1854).

Многочлены Чебышёва первого рода определяются формулой

${\displaystyle T_{n}(x)=\cos(n\,{\text{arccos}}\,x)={\frac {2^{n}n!}{(2n)!}}{\sqrt {1-x^{2}}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}((1-x^{2})^{n-1/2})}$,

в частности

${\displaystyle T_{0}=1,\,\,T_{1}=x,\,\,T_{2}=2x^{2}-1}$.

Они ортогональны с весом ${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}}$ на отрезке ${\displaystyle -1\leqslant x\leqslant 1}$, т. е. имеют место формулы:

${\displaystyle 0,\qquad m\neq n,}$
${\displaystyle \int _{-1}^{1}{\frac {T_{m}(x)T_{n}(x)}{\sqrt {1-x^{2}}}}dx={\frac {\pi }{2}},\qquad m=n\geqslant 1,}$
${\displaystyle \pi ,\qquad m=n=0}$.

Многочлены Чебышёва первого рода ${\displaystyle {\frac {1}{2^{n-1}}}T_{n}(x)}$ наименее отклоняются от нуля. Это означает, что среди всех многочленов степени ${\displaystyle n}$ со старшим коэффициентом ${\displaystyle 1}$ именно максимум модуля ${\displaystyle \max \left|{\frac {1}{2^{n-1}}}T_{n}(x)\right|}$ на отрезке ${\displaystyle -1\leqslant x\leqslant 1}$ имеет наименьшее значение, причём этот максимум равен ${\displaystyle {\frac {1}{2^{n-1}}}}$. Многочлены Чебышёва ${\displaystyle y=T_{n}(x)}$ удовлетворяют дифференциальному уравнению

${\displaystyle (1-x^{2})y''-xy'+n^{2}y=0}$

и для них справедлива рекуррентная формула

${\displaystyle T_{n+1}(x)=2xT_{n}(x)-T_{n-1}(x),\quad n\geqslant 1}$.

Многочлены Чебышёва второго рода ${\displaystyle U_{n}(x)}$ ортогональны на отрезке ${\displaystyle -1\leqslant x\leqslant 1}$ с весом ${\displaystyle {\sqrt {1-x^{2}}}}$, т. е.

${\displaystyle \int _{-1}^{1}U_{m}(x)U_{n}(x){\sqrt {1-x^{2}}}\,dx=0,\quad m\neq n,}$
${\displaystyle \int _{-1}^{1}U_{m}(x)U_{n}(x){\sqrt {1-x^{2}}}\,dx={\frac {\pi }{2}},\quad m=n}$.

Они определяются формулой

${\displaystyle U_{n}(x)={\frac {\sin((n+1){\text{arccos}}\,x}{\sqrt {1-x^{2}}}}=}$
${\displaystyle ={\frac {2^{n}(n+1)!}{(2n+1)!}}{\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}((1-x^{2})^{n+1/2}}$.

В частности,

${\displaystyle U_{0}(x)=1,\,\,U_{1}(x)=2x,\,\,U_{2}(x)=4x^{2}-1}$.

Дифференциальное уравнение и рекуррентная формула для многочленов Чебышёва второго рода имеют вид

${\displaystyle (1-x^{2})y''-3xy'+n(n+1)y=0,}$
${\displaystyle U_{n+1}(x)=2xU_{n}(x)-U_{n-1}(x),\quad n\geqslant 1}$.

Многочлены Чебышёва первого и второго рода связаны соотношением

${\displaystyle U_{n}(x)={\frac {1}{n+1}}{\frac {dT_{n+1}(x)}{dx}}}$.

Многочлены Эрмита часто называют многочленами Чебышёва – Эрмита.