Функции Уиттекера

Фу́нкции Уи́ттекера, функции ${\displaystyle M_{\lambda ,\mu }(z)}$ и ${\displaystyle W_{\lambda ,\mu }(z)}$, которые являются решениями дифференциального уравнения Уиттекера

${\displaystyle w''+\left({\frac {1/4-\mu ^{2}}{z^{2}}}+{\frac {\lambda }{z}}-{\frac {1}{4}}\right)w=0.}$ (*)

Функция ${\displaystyle W_{\lambda ,\mu }}$ вводится равенством

${\displaystyle W_{\lambda ,\mu }(z)={\frac {\Gamma (-2\mu )}{\Gamma (1/2-\lambda -\mu )}}M_{\lambda ,\mu }(z)+{\frac {\Gamma (2\mu )}{\Gamma (1/2-\lambda +\mu )}}M_{\lambda ,-\mu }(z)}$.

Пары функций ${\displaystyle M_{\lambda ,\mu }(z)}$ и ${\displaystyle M_{\lambda ,-\mu }(z),W_{\lambda ,\mu }(z)}$ и ${\displaystyle W_{-\lambda ,\mu }(-z)}$ – линейно независимые решения уравнения (*). Точка ${\displaystyle z=0}$ – точка ветвления для ${\displaystyle M_{\lambda ,\mu }(z)}$ и ${\displaystyle W_{\lambda ,\mu }(z)}$, ${\displaystyle z=\infty }$ – существенно особая точка.

Связь с другими функциями:

c вырожденной гипергеометрической функцией:

${\displaystyle M_{\lambda ,\mu }(z)=z^{\mu +1/2}e^{-z/2}F_{1}(\mu -\lambda +1/2;2\mu +1;z),}$

с модифицированной функцией Бесселя и функцией Макдональда:

${\displaystyle M_{0,\mu }(z)=2^{2\mu }\Gamma (\mu +1){\sqrt {z}}I_{\mu }\left({\frac {z}{2}}\right),\quad W_{0,\mu }(z)={\sqrt {\frac {z}{\pi }}}K_{\mu }\left({\frac {z}{2}}\right),}$

с интегралом вероятности:

${\displaystyle W_{-{\frac {1}{4}},{\frac {1}{4}}}(z)={\sqrt {\pi }}z^{1/4}e^{z/2}\operatorname {erfc} ({\sqrt {z}}),}$

с многочленами Лагерра:

${\displaystyle W_{n+\mu +5/2,\mu }(z)=(-1)^{n}z^{\mu +1/2}e^{-z/2}L_{n}^{2\mu }(z)}$.