Матрица Якоби

Ма́трица Яко́би, квадратная матрица ${\displaystyle J=\left\|a_{ik}\right\|}$ с действительными элементами, у которой ${\displaystyle a_{ik}=0}$ при ${\displaystyle |i-k|>1}$. Если обозначить ${\displaystyle a_{i}=a_{ii}(i=1,\ldots ,n)}$, ${\displaystyle b_{i}=a_{ii+1}}$, ${\displaystyle c_{i}=a_{i+1i}}$ ${\displaystyle (i=1,\ldots ,n-1)}$, то матрица Якоби примет вид

${\displaystyle \left\|{\begin{matrix}a_{1}&b_{1}&0&\ldots &0&0\\c_{1}&a_{2}&b_{2}&\ldots &0&0\\0&c_{2}&a_{3}&\ldots &0&0\\\ldots &\ldots &\ldots &\ldots &\ldots &\ldots \\0&0&0&\ldots &c_{n-1}&a_{n}\end{matrix}}\right\|{\textsf {.}}}$

Любой минор матрицы Якоби ${\displaystyle J}$ является произведением некоторых главных миноров матрицы ${\displaystyle J}$ и некоторых её элементов. Матрица Якоби ${\displaystyle J}$ вполне неотрицательна (т. е. неотрицательны все миноры матрицы ${\displaystyle J}$) тогда и только тогда, когда неотрицательны все её главные миноры и все элементы ${\displaystyle b_{i}}$ и ${\displaystyle c_{i}}$ ${\displaystyle (i=1,\ldots ,n-1)}$. Если ${\displaystyle b_{i}c_{i}>0}$ при ${\displaystyle i=1,\ldots ,n-1}$, то корни характеристического многочлена матрицы ${\displaystyle J}$ действительны и различны.