Голоморфное отображение

Голомо́рфное отображе́ние, отображение ${\displaystyle f:D\rightarrow D^{\prime }}$ области ${\displaystyle D\subset \mathbb {C} ^{n}}$ в область ${\displaystyle D^{\prime }\subset \mathbb {C} ^{m}}$, при котором

${\displaystyle z=\left(z_{1},\ldots ,z_{n}\right)\longrightarrow \left(f_{1}(z),\ldots ,f_{m}(z)\right),}$

где все координатные функции ${\displaystyle f_{1},\ldots ,f_{m}}$ голоморфны в ${\displaystyle D}$. При ${\displaystyle m=1}$ голоморфное отображение совпадает с голоморфной функцией.

Голоморфное отображение ${\displaystyle f}$ называется невырожденным в точке ${\displaystyle z\in D}$, если ранг якобиевой матрицы ${\displaystyle \|\partial f/\partial z\|}$ в точке ${\displaystyle z}$ максимален [${\displaystyle =\min(n,m)}$]. Голоморфное отображение называется невырожденным в области ${\displaystyle D}$, если оно невырождено во всех точках ${\displaystyle z\in D}$. При ${\displaystyle m=n}$ невырожденность ${\displaystyle f}$ эквивалентна условию

${\displaystyle \operatorname {det} \left\|{\frac {\partial f}{\partial z}}\right\|\neq 0}$.

При ${\displaystyle n=m=1}$ невырожденное голоморфное отображение есть конформное отображение. При ${\displaystyle n=m\geqslant 2}$ невырожденное голоморфное отображение, вообще говоря, не сохраняет углов между направлениями. Если голоморфное отображение ${\displaystyle f}$ невырождено в точке ${\displaystyle a\in D}$ и ${\displaystyle m=n}$, то ${\displaystyle f}$ локально обратимо, т. е. существуют окрестности ${\displaystyle U,U^{\prime }}$, ${\displaystyle a\in U\subset D}$, ${\displaystyle f(a)\in U^{\prime }\subset D^{\prime }}$ и голоморфное отображение ${\displaystyle f^{-1}:U^{\prime }\rightarrow U}$ такие, что ${\displaystyle f^{-1}\cdot f(z)=z}$ для всех ${\displaystyle z\in U}$. Если голоморфное отображение ${\displaystyle f}$ взаимно однозначно отображает ${\displaystyle D}$ на ${\displaystyle f(D)}$ и ${\displaystyle m=n}$, то ${\displaystyle f}$ невырождено в ${\displaystyle D}$; при ${\displaystyle m>n}$ это неверно, например ${\displaystyle z\rightarrow \left(z^{2},z^{3}\right),}$ ${\displaystyle D=\mathbb {C} }$, ${\displaystyle D^{\prime }=\mathbb {C} ^{2}}$. Если ${\displaystyle m\leqslant n}$ и ${\displaystyle f}$ невырождено в ${\displaystyle D}$, то образ области ${\displaystyle D}$ тоже является областью в ${\displaystyle \mathbb {C} ^{m}}$; при ${\displaystyle m>1}$ принцип сохранения области не выполняется для отображений, вырожденных в некоторых точках, например ${\displaystyle \left(z_{1},z_{2}\right)\rightarrow \left(z_{1},z_{1}z_{2}\right)}$, ${\displaystyle D=D^{\prime }=\mathbb {C} ^{2}}$.

Если ${\displaystyle M}$ и ${\displaystyle M^{\prime }}$ – комплексные многообразия, ${\displaystyle \left\{\left(U_{\alpha },\varphi _{\alpha }\right)\right\}}$ и ${\displaystyle \left\{\left(U_{\beta }^{\prime },\varphi _{\beta }^{\prime }\right)\right\}}$ – атласы их локальных систем координат (${\displaystyle \varphi _{\alpha }:U_{\alpha }\rightarrow D_{\alpha }\subset \mathbb {C} ^{n}}$, ${\displaystyle \varphi _{\beta }^{\prime }:U_{\beta }^{\prime }\rightarrow D_{\beta }^{\prime }\subset \mathbb {C} ^{m}}$ – гомеоморфизмы), то отображение ${\displaystyle f:M\rightarrow M^{\prime }}$ называется голоморфным, если ${\displaystyle \varphi _{\beta }^{\prime }f\cdot \varphi _{\alpha }^{-1}:D_{\alpha }\rightarrow D_{\beta }^{\prime }}$ есть голоморфное отображение для всех ${\displaystyle \alpha }$ и ${\displaystyle \beta }$. Аналогично определяются голоморфные отображения комплексных пространств (см. Аналитическое отображение). См. также Биголоморфное отображение.