Функции Лежандра

Фу́нкции Лежа́ндра, функции, являющиеся решениями дифференциального уравнения Лежандра:

${\displaystyle \left(1-x^{2}\right){\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}-2x{\frac {dy}{dx}}+\left[\nu (\nu +1)-{\frac {\mu ^{2}}{1-x^{2}}}\right]y=0,}$ (*)

где ${\displaystyle \nu }$ и ${\displaystyle \mu }$ – произвольные числа. Если ${\displaystyle \nu =0,1,2,\ldots }$, а ${\displaystyle \mu =0}$, то ограниченные на ${\displaystyle [-1,1]}$ решения уравнения (*) называются многочленами Лежандра; при целых ${\displaystyle \mu }$, ${\displaystyle -\nu \leqslant \mu \leqslant 1}$, ограниченные на ${\displaystyle [-1,1]}$ решения уравнения (*) называются присоединёнными функциями Лежандра.