След на $\boldsymbol{C^*}$-а́лгебре, $A$ – функция $f$ на множестве $A^+$ положительных элементов алгебры $A$, принимающая значения в $[0,+\infty]$, аддитивная, однородная относительно умножения на положительные числа и удовлетворяющая условию $f\left(x x^*\right)=f\left(x^* x\right)$ для всех $x \in A$. След $f$ называется конечным, если $f(x)<+\infty$ для всех $x \in A^+$; полуконечным, если $f(x) =\sup \{f(y)\colon y \in A, y \leqslant x, f(y)<+\infty\}$ для всех $x \in A^+$. Конечные следы на $A$ суть ограничения на $A^+$ таких положительных линейных функционалов $\varphi$ на $A$, что $\varphi(x y)=\varphi(y x)$ для всех $x, y \in A$. Пусть $f$ – след на $A$, $\mathfrak{N}_f$ – множество таких элементов $x \in A$, что $f\left(x x^*\right)< +\infty$, $\mathfrak{M}_f$ – множество линейных комбинаций попарных произведений элементов из $\mathfrak{N}_f$; тогда $\mathfrak{N}_f$ и $\mathfrak{M}_f$ – самосопряжённые двусторонние идеалы в $A$ и на $\mathfrak{M}_f$ существует однозначно определённый линейный функционал $\varphi$, совпадающий с $f$ на $\mathfrak{M}_f \cap A^+$. Пусть $f$ – полунепрерывный снизу полуконечный след на $C^*$-алгебре $A$; формула $s(x, y)=\varphi\left(y^* x\right)$ определяет на $\mathfrak{N}_f$ эрмитову форму, и для любого $x \in A$ отображение $\lambda_j(x)\colon y \rightarrow x y$ пространства $\mathfrak{N}_f$ в себя непрерывно относительно этой формы. Пусть $N_f=\left\{x \in \mathfrak{N}_f, s(x, x)=0\right\}$, $H_f$ – пополнение факторпространства $\mathfrak{N}_f / N_f$ относительно скалярного произведения, определённого формой $s$. Операторы $\lambda_f(x)$ определяют при переходе к факторпространству и пополнению некоторые операторы $\pi_f(x)$ в гильбертовом пространстве $H_f$, и отображение $x \rightarrow \pi_f(x)$ есть представление $C^*$-алгебры $A$ в $H_f$. Соответствие $f \rightarrow \pi_f$ есть взаимно однозначное соответствие между множеством полунепрерывных снизу полуконечных следов на $C^*$-алгебре $A$ и множеством представлений $C^*$-алгебры $A$ со следом, определённых с точностью до квазиэквивалентности.