Положи́тельный функциона́л на алгебре с инволюцией $*$, линейный функционал $f$ на $*$-алгебре $A$, удовлетворяющий условию $f(x*x)\ge 0$ для всех $x\in A$. Важность положительных функционалов и причина их введения заключается, в частности, в том, что они используются в т. н. ГНС-конструкции – одном из основных методов исследования структуры банаховых $*$-алгебр. На ней (и на её обобщениях, например на веса на $C^*$-алгебрах) основано доказательство теоремы абстрактной характеризации равномерно замкнутых $*$-алгебр операторов в гильбертовом пространстве и теоремы о полноте системы неприводимых унитарных представлений локально компактной группы.

ГНС-конструкция есть способ построения по произвольному положительному функционалу $f$ на $*$-алгебре $A$ с единицей такого $*$-представления $\pi_f$ алгебры $A$ в гильбертовом пространстве $H_f$, что $f( x)=\langle \pi_f(x)\xi,\xi\rangle$ для всех $x\in A$, где $\xi\in H_f$ – некоторый циклический вектор, который состоит в следующем. В $A$ определяется полускалярное произведение $\langle x, y\rangle = f(y^* x)$; соответствующим нейтральным подпространством является левый идеал $N_f = \{x\in A: f(x^* x)=0\}$, поэтому в предгильбертовом пространстве $A/N_f$ корректно определены операторы левого умножения $L_a$ на элементы $a\in A$ ($L_a(x+N_f)=ax + N_f$); операторы $L_a$ непрерывны и продолжаются до непрерывных операторов $\overline L_a$ в пополнении $H_f$ пространства $A/H_f$. Отображение $\pi_f$, переводящее $a\in A$ в $\overline L_a$, и есть требуемое представление, причём в качестве $\xi$ можно взять образ единицы при суперпозиции канонических отображений $A\to A/H_f\to H_f$.