Норма́льная фо́рма самосопряжённого опера́тора, представление с точностью до изоморфизма самосопряжённого оператора $A$, действующего в гильбертовом пространстве $\mathscr{H}$, в виде ортогональной суммы операторов умножения на независимую переменную.

Пусть, сначала, $A$ – циклический оператор; это означает, что существует элемент $h_0 \in \mathscr{H}$ такой, что любой элемент $h \in \mathscr{H}$ однозначно представим в виде $F(A) h_0$, где $F(\xi)$ – некоторая функция такая, что

$$\int_{-\infty}^{+\infty}|F(\xi)|^2 d\left(E_{\xi} h_0, h_0\right)<\infty,$$здесь $E_{\xi},-\infty<\xi<\infty$, – спектральная функция оператора $A$. Пусть $\mathscr{L}_\rho^2$ – пространство функций, суммируемых с квадратом на $(-\infty,+\infty)$ с весом $\rho(\xi)=\left(E_{\xi} h_0, h_0\right)$, и $K_\rho F=\xi F(\xi)$ – оператор умножения на независимую переменную с областью определения

$$D_{K_\rho}=\left\{F(\xi): \int_{-\infty}^{+\infty} \xi^2|F(\xi)|^2 d \rho(\xi)<\infty\right\} .$$Тогда операторы $A$ и $K_p$ изоморфны, $A \simeq K$, т. е. существует изоморфное и изометрическое отображение $U: \mathscr{H} \rightarrow \mathscr{L}_\rho^2$ такое, что $U D_A=D_{K_\rho}$ и $A=U^{-1} K_\rho U$.

Пусть, теперь, $A$ – произвольный самосопряжённый оператор. Тогда $H$ можно разложить в ортогональную сумму инвариантных подпространств $H_\alpha$, на каждом из которых $A$ индуцирует циклические операторы $A_\alpha$, так что $H=\sum \oplus H_\alpha$, $A=\sum \oplus A_\alpha$ и $A_\alpha \simeq K_{\rho_{\alpha}}$. Если на $\mathscr{L}^2=\sum \oplus \mathscr{L}_{\boldsymbol{\rho}_\alpha}^2$ задать оператор $K=\sum \oplus K_{{\rho}_\alpha}$, то $A \simeq K$.

Оператор $K$ называется нормальной формой, или каноническим представлением, оператора $A$. Теорема о каноническом представлении распространяется на случай произвольных нормальных операторов.