Вариа́ция Ха́рди, одна из числовых характеристик функции нескольких переменных. Пусть $f(x)=f\left(x_1, \ldots, x_n\right)$, $n=2,3, \ldots$, – функция на $n$-мерном параллелепипеде

$$D_n=\left[a_1, b_1\right] \times \ldots \times\left[a_n, b_n\right]$$и

$$\begin{aligned} \Delta_{h_k}(f ; x)&=f\left(x_1, \ldots, x_k+h_k, \ldots, x_n\right)- \\ &\quad-f\left(x_1, \ldots, x_k, \ldots, x_n\right), \quad k=1, \ldots, n, \\ \Delta_{h_1, \ldots, h_k}(f ; x)&=\Delta_{h_k}\left(\Delta_{h_1}, \ldots, h_{k-1}; x\right), \quad k=2, \ldots, n. \end{aligned}$$Пусть, далее, $\Pi$ – произвольное разбиение параллелепипеда гиперплоскостями

$$\begin{gathered} x_s=x_s^{\left(r_s\right)},\quad r_s=0,1, \ldots, l_s,\quad s=1,2, \ldots, n, \\ x_s^{(r_s)}< x_s^{(r_s+1)},\,\, x_s^{(0)}=a_s, \,\, x_s^{(l_s)}=b_s,\,\, x_s^{\left(r_s+1\right)}- x_s^{(r_s)} = h_s^{\left(r_s\right)} \end{gathered}$$на $n$-мерные параллелепипеды и $\tilde{H}_n$ – класс всех функций $f(x)$, для которых

$$\tilde{H}_n(f) = \sup_\pi \sum_{r_1=0}^{l_1-1} \ldots \sum_{r_n=0}^{l_n-1} \left| \Delta_{h_1^{(r_1)} \ldots h_n^{(r_n)}}\left(f; x_1^{(r_1)}, \ldots, x_n^{(r_n)} \right) \right|<\infty.$$Пусть теперь $\alpha=\left(\alpha_1, \ldots, \alpha_s\right)$, $s=1, \ldots, n-1$, – целочисленный вектор, координаты которого удовлетворяют неравенствам $1 \leqslant \alpha_1<\alpha_2<\ldots<\alpha_s \leqslant n$ и $\bar{\alpha}$ – целочисленный вектор размерности $n-s$ такой, что его координаты образуют строго возрастающую последовательность и состоят из всех тех чисел $1, \ldots, n$, которые не содержатся среди $\alpha_1, \ldots, \alpha_s$. Тогда каждую точку $x \in D_n$ можно записать в виде $x=\left(x^\alpha, x^{\bar{\alpha}}\right)$. Если координаты $x_{\alpha_1}, \ldots, x_{\alpha_s}$ точки $x \in D_n$ фиксированы на значениях $\stackrel{\circ}{x}_{\alpha_1}, \ldots, \stackrel{\circ}{x}_{\alpha_s}$, то будем писать: $x=\left(\stackrel{\circ}{x}^\alpha, x^{\bar{\alpha}}\right)$.

Вариация Харди функции $f(x)$ на $D_n$:

$$H\left(f, D_n\right)\stackrel{\operatorname{def}}{=} \sup _\alpha \sup _{\stackrel{\circ}{x}^\alpha} \tilde{H}_{n-s}\left(f\left(\stackrel{\circ}{x}^\alpha, \bar{x}^{\bar{\alpha}}\right)\right).$$Если $H\left(f, D_n\right)<\infty$, то говорят, что функция $f(x)$ имеет ограниченную (конечную) вариацию Харди на параллелепипеде $D_n$, а класс всех таких функций обозначается $H\left(D_n\right)$. Этот класс при $n=2$ был введён Г. Харди (Hardy. 1906) (см. также Hahn. 1921) в связи с исследованием сходимости двойных рядов Фурье. Он доказал, что прямоугольные частичные суммы двойного ряда Фурье функции $f\left(x_1, x_2\right)$ класса $H\left(Q_2 \right)$ $\left(Q_2=[0,2 \pi] \times[0,2 \pi]\right)$, имеющей период $2 \pi$ по каждой переменной, сходятся в каждой точке $\left(x_1, x_2\right)$ к числу

$$\begin{aligned} & \frac{1}{4}\left\{f\left(x_1+0, x_2+0\right)+f\left(x_2+0, x_2-0\right)+\right. \\ & \left.\quad+f\left(x_1-0, x_2+0\right)+f\left(x_1-0, x_2-0\right)\right\}, \end{aligned}$$где

$$f\left(x_1 \pm 0, x_2 \pm 0\right) \stackrel{\text {def}}{=} \lim _{\varepsilon_1 \rightarrow+0, \varepsilon_2 \rightarrow+0} f\left(x_1 \pm \varepsilon_1, x_2 \pm \varepsilon_2\right).$$Для того чтобы функция $f(x)$ входила в класс $H\left(D_n\right)$, необходимо и достаточно, чтобы её можно было представить в виде $f(x)=f_1(x)-f_2(x)$, где $f_1$ и $f_2$ такие конечные на $D_n$ функции, что $\Delta_{h_1, \ldots, h_k}(f ; x) \geqslant 0$, $k=2, \ldots, n,$ при всех $x \in D_n$ и допустимых приращениях $h_1, \ldots, h_n$. Класс $H\left(D_n\right)$ содержится в классе ${A}\left(D_n\right)$ функций, имеющих ограниченную вариацию Арцела на $D_n$.