Вариа́ция Арце́ла́, одна из числовых характеристик функции нескольких переменных, которую можно рассматривать как многомерный аналог вариации функции одного переменного. Пусть действительнозначная функция $f(x)=f(x_1,\ldots, x_n)$ задана на $n$-мерном параллелепипеде $D_n=[a_1,b_1]\times\ldots\times[a_n,b_n]$, $\ n=2,3,\ldots$, и $G_n$ – класс всех таких непрерывных вектор-функций $x(t)= (x_1(t), \ldots, x_n(t))$ ($0\leqslant t\leqslant 1$), что каждая функция $x_k(t)$ не убывает на $[0, 1]$, причём $x_k(0)=a_k$, $x_k(1)=b_k$, $k=1, 2, \ldots, n$. Тогда

$$A(f,D_n)\stackrel{\mathrm{def}}{=} \sup_{\bar{x}(t)\in G_n}\sup_\Pi \sum_{s=1}^m\bigl|f\bigl(\bar{x}(t_s)\bigr) - f\bigl(\bar{x}(t_{s-1})\bigr)\bigr|,$$где $\Pi= \{0=t_0<t_1<\ldots<t_m=1\}$ – произвольная система точек из $[0, 1]$. Это определение в случае $n=2$ предложено Ч. Арцела (Arzelà. 1905; см. также Hahn. 1921. S. 543). Если $A(f,D_n)<\infty$, то говорят, что функция $f(x)$ имеет ограниченную (конечную) вариацию Арцела на $D_n$, а класс всех таких функций обозначается $A(D_n)$. Для того чтобы функция $f(x)=f(x_1,\ldots, x_n)$ принадлежала классу $A(D_n)$, необходимо и достаточно, чтобы имело место разложение

$$f(x_1,\ldots, x_n)=f_1(x_1,\ldots, x_n)-f_2(x_1,\ldots, x_n),$$где $f_1$ и $f_2$ – конечные неубывающие на $D_n$ функции. При этом функция $f(x)$ называется неубывающей на $D_n$, если

$$f(x_1'',\ldots, x_n'')\geqslant f(x_1',\ldots, x_n')$$при $a_k\leqslant x_k'\leqslant x_k''\leqslant b_k$ $(k=1,\ldots,n)$. Класс $A(D_n)$ содержит в себе класс функций, имеющих ограниченную вариацию Харди на $D_n$.