Усло́вный экстре́мум, минимальное или максимальное значение, достигаемое данной функцией (или функционалом) при условии, что некоторые другие функции (функционалы) принимают значения из заданного допустимого множества. Если условия, ограничивающие в указанном смысле область изменения независимых переменных (функций), отсутствуют, то говорят о безусловном экстремуме.

Классической задачей на условный экстремум является задача определения минимума функции многих переменных

$$f\left(x_1, \ldots, x_n\right) \tag{1}$$при условии, что некоторые другие функции принимают заданные значения:

$$g_i\left(x_1, \ldots, x_n\right)=c_i, \quad i=1, \ldots, m, \quad m<n. \tag{2}$$В этой задаче множество $G$, которому должны принадлежать значения вектор-функции $g=\left(g_1, \ldots, g_m\right)$, входящей в дополнительные условия (2), есть фиксированная точка $c=\left(c_1, \ldots, c_m\right)$ в $m$-мерном евклидовом пространстве $\mathbb{R}^m$.

Если в (2) наряду со знаком равенства допускаются знаки неравенства

$$\left. \begin{aligned} & g_i\left(x_1, \ldots, x_n\right)=c_i, \quad i=1, \ldots, m_1,\,\, m_1<n, \\ & g_i\left(x_1, \ldots, x_n\right) \leqslant c_i, \quad i=m_1+1, \ldots, m_2, \\ & g_i\left(x_1, \ldots, x_n\right) \geqslant c_i, \quad i=m_2+1, \ldots, m, \end{aligned} \right\} \tag{3}$$то это приводит к задаче нелинейного программирования (1), (3). В задаче (1), (3) множество $G$ допустимых значений вектор-функции $g$ представляет собой некоторый криволинейный многогранник, принадлежащий $\left(n-m_1\right)$-мерной гиперповерхности, задаваемой $m_1$, $m_1<n$, условиями типа равенства (3). Границы указанного криволинейного многогранника строятся с учётом $n-m_1$ неравенств, входящих в (3).

Частным случаем задачи (1), (3) на условный экстремум является задача линейного программирования, в которой все рассматриваемые функции $f$ и $g_i$ являются линейными по $x_1, \ldots, x_n$. В задаче линейного программирования множество $G$ допустимых значений вектор-функции $g$, входящей в условия, ограничивающие область изменения переменных $x_1, \ldots, x_n$, представляет собой выпуклый многогранник, принадлежащий $\left(n-m_1\right)$-мерной гиперплоскости, задаваемой $m_1$ условиями типа равенства в (3).

Аналогичным образом большинство задач оптимизации функционалов, представляющих практический интерес, сводится к задачам на условный экстремум (см. в статьях Изопериметрическая задача, Задача Больца, Задача Лагранжа, Задача Майера). Так же, как и в математическом программировании, основными задачами вариационного исчисления и теории оптимального управления являются задачи на условный экстремум.

При решении задач на условный экстремум, особенно при рассмотрении теоретических вопросов, связанных с задачами на условный экстремум, весьма полезным оказывается использование неопределённых множителей Лагранжа, позволяющих свести задачу на условный экстремум к задаче на безусловный экстремум и упростить вывод необходимых условий оптимальности. Использование множителей Лагранжа лежит в основе большинства классических методов решения задач на условный экстремум.