Тригонометри́ческие уравне́ния, уравнения относительно аргумента тригонометрических функций.

Простейшими тригонометрическими уравнениями называются уравнения

$$\sin{x}=a,\ \ \ \ \ \ \cos{x}=a,\ \ \ \ \ \ tg\ x=a,\ \ \ \ \ \ \ ctg\ x=a,$$где $a$ – любое действительное число. Для записи решений простейших тригонометрических уравнений используются обратные тригонометрические функции.

Уравнение $\sin{x}=a$ имеет решения при $\left|a\right|\le1$:

$$x=(-1)^n\arcsin{a}+\pi n,$$где $n$ – любое целое число ($n\in Z$). Другая форма записи решения этого уравнения:

$$x_1=\arcsin{a}+2\pi n,\ n\in Z,\ \ \ \ x_2=\pi-\arcsin{a}+2\pi k,\ k\in Z.$$Важные частные случаи:

$$\sin{x}=0,\ \ \ \ \ \ x=\pi n,\v\ \ \ n\in Z,$$$$\sin{x}=1,\ \ \ \ \ \ x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\ \ \ n\in Z,$$$$\sin{x}=-1,\ \ \ \ \ x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n,\ \ n\in Z.$$Уравнение $\cos{x}=a$ имеет решения при $\left|a\right|\le1$ :

$$x=\pm\arccos{a}+2\pi n, \ \ \ n\in Z.$$Другая форма записи решения этого уравнения:

$$x_1=\arccos{a}+2\pi n,\ \ \ n\in Z,{\ \ \ \ \ \ x}_2=-\arccos{a}+2\pi k,\ \ k\in Z.$$Важные частные случаи:

$$\cos{x}=0,\ \ \ \ x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\ \ \ n\in Z,$$$$\cos{x}=1,\ \ \ \ x=2\pi n,\ \ \ n\in Z,$$$$\cos{x}=-1,\ \ \ \ x=\pi+2\pi n,\ \ \ n\in Z.$$Уравнение $tg{x}=a$ имеет решения при $a\in\left(-\infty,+\infty\right)$:

$$x=arctg{a}+\pi n, \ \ \ n\in Z.$$Важные частные случаи:

$$tg{x}=0,\ \ \ \ \ \ x=\pi n,\ \ \ \ n\in Z,$$$$tg{x}=1,\ \ \ \ \ x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\ \ \ \ \ \ n\in Z,$$$$tg{x}=-1,\ \ \ \ \ x=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\ \ \ \ n\in Z.$$Уравнение $ctg{x}=a$ имеет решения при $a\in\left(-\infty,+\infty\right)$:

$$x=arcctg{a}+\pi n, \ \ \ n\in Z.$$Важные частные случаи:

$$ctg{x}=0,\ \ \ \ x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\ \ \ \ n\in Z,$$$$ctg{x}=1,\ \ \ \ x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\ \ \ \ \ \ n\in Z,$$$$ctg{x}=-1,\ \ \ \ \ x=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\ \ \ \ \ \ n\in Z.$$Уравнения вида $P\left(\sin{x},\cos{x}\right)=0$, где $P\left(a,b\right)$ – многочлен от двух переменных, сводятся к алгебраическому уравнению при помощи универсальной тригонометрической подстановки:

$$z=tg\frac{x}{2},\ \ \ \ \sin{x}=\frac{2z}{1+z^2} , \ \cos{x}=\frac{1-z^2}{1+z^2}.$$Если $P\left(0,-1\right)=0$, то к найденным решениям надо добавить $x=\pi+2\pi n$, где $n\in Z$.

В ряде частных случаев удобно использовать другие подстановки.

1. Уравнения вида $P\left(\sin{x},\cos^2{x}\right)=0$ и $P\left(\cos{x},\sin^2{x}\right)=0$, где $P\left(a,b\right)$ – многочлен от двух переменных, сводятся к алгебраическому уравнению $P\left(y,1-y^2\right)=0$ заменами $\ y=\sin{x}$ и $y=\cos{x}$ соответственно.

2. Однородное уравнение порядка $n$

$$a_n\sin^n{x}+a_{n-1}\sin^{n-1}{x}\cos{x}+\ldots+a_1\sin{x}\cos^{n-1}{x}+a_0\cos^n{x}=0,{\ \ \ a}_n\neq0,$$после деления каждого слагаемого на $\cos^n{x}\neq0$ сводится к алгебраическому уравнению

$$a_ny^n+a_{n-1}y^{n-1}+\ldots+a_1y+a_0=0$$заменой $y=tg{x}$.

3. Уравнение с однородной левой частью чётного порядка $n=2k\$вида

$$a_n\sin^n{x}+a_{n-1}\sin^{n-1}{x}\cos{x}+\ldots+a_1\sin{x}\cos^{n-1}{x}+a_0\cos^n{x}=b$$сводится к однородному уравнению подстановкой в правой части $b=b\left(\sin^2{x}+\cos^2{x}\right)^k$.

4. Уравнение вида

$$a\sin{x}+b\cos{x}=c,\ \ \ \ \ \ c\neq0,$$может быть решено следующими способами:

а) приведением к однородному тригонометрическому уравнению второго порядка с половинным аргументом

$$2a\sin{\frac{x}{2}}\cos{\frac{x}{2}}+b\left(\cos^2{\frac{x}{2}}-\sin^2{\frac{x}{2}}\right)-c\left(\cos^2{\frac{x}{2}}+\sin^2{\frac{x}{2}}\right)=0;$$б) сведением к квадратному уравнению относительно $y=tg{\frac{x}{2}}$ при помощи универсальной тригонометрической подстановки; при $c=-b$ к найденным решениям надо добавить $x=\pi+2\pi n, n\in Z$;

в) сведением к простейшему тригонометрическому уравнению

$$\sin{\left(x+\varphi\right)}=\frac{c}{\sqrt{a^2+b^2}}$$путём введения вспомогательного аргумента $\varphi$, заданного соотношениями

$$\cos{\varphi}=\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}},\ \ \ \ \ \sin{\varphi}=\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}.$$Для решения уравнений вида

$$\sin{a}x\pm\sin{b}x=0,\ \ \ \ \ \cos{a}x\pm\cos{b}x=0,\ \ \ \ \ \ \sin{a}x\pm\cos{b}x=0$$суммы и разности тригонометрических функций преобразуются в произведения тригонометрических функций по формулам

$$\sin{\alpha}+\sin{\beta}=2\sin{\frac{\alpha+\beta}{2}}\cos{\frac{\alpha-\beta}{2}},$$$$\sin{\alpha}-\sin{\beta}=2\sin{\frac{\alpha-\beta}{2}}\cos{\frac{\alpha+\beta}{2}},$$$$\cos{\alpha}+\cos{\beta}=2\cos{\frac{\alpha+\beta}{2}}\cos{\frac{\alpha-\beta}{2}},$$$$\cos{\alpha}-\cos{\beta}=-2\sin{\frac{\alpha+\beta}{2}}\sin{\frac{\alpha-\beta}{2}},$$$$\sin{\alpha}+\cos{\beta}=2\sin{\left(\frac{\alpha-\beta}{2}+\frac{\pi}{4}\right)}\cos{\left(\frac{\alpha+\beta}{2}-\frac{\pi}{4}\right)},$$$$\sin{\alpha}-\cos{\beta}=2\sin{\left(\frac{\alpha+\beta}{2}-\frac{\pi}{4}\right)}\cos{\left(\frac{\alpha-\beta}{2}+\frac{\pi}{4}\right)}.$$Далее каждый сомножитель нужно приравнять к нулю, решить простейшие тригонометрические уравнения и объединить два множества решений.