Тео́рия распределе́ния значе́ний, теория распределения значений мероморфных функций, построенная в 20-x гг. 20 в. Р. Неванлинной (Неванлинна. 1941), основной задачей которой является изучение систем $\left\{z_n\right\}$ точек области $G$, в которых функция $w(z)$ принимает заданное значение $w=a$ (т. н. $a$-точек); при этом рассматриваются всевозможные значения $a \in \mathbb{C} \cup\{\infty\}$.

Основные понятия

Основные положения неванлинновской теории можно проиллюстрировать на случае, когда $w=f(z)$ является трансцендентной мероморфной функцией во всей открытой комплексной плоскости $\mathbb{C}$. Пусть $n(t, a, f)$ обозначает число $a$-точек $f(z)$ с учётом их кратностей, попавших в круг $\{|z| \leqslant t\}$. И пусть для произвольного комплексного числа $a$

$$\begin{aligned} N(r, a, f)&=\int_0^r[n(t, a, f)-n(0, a, f)] d \ln t+n(0, a, f) \ln r, \\ m(r, a, f)&=m\left(r, \infty, \frac{1}{f-a}\right),\quad a \neq \infty, \\ m(r, \infty, f)&=\frac{1}{2 \pi} \int_0^{2 \pi} \ln +\left|f\left(r e^{i \theta}\right)\right| d \theta, \\ T(r, f)&=m(r, \infty, f)+N(r, \infty, f) . \end{aligned}$$Функция $T(r, f)$ называется неванлинновской характеристикой (или характеристической функцией) мероморфной функции $f(z)$. Функция $m(r, a, f)$ характеризует скорость среднего приближения $f(z)$ к числу $a$ при $|z| \rightarrow \infty$, а функция $N(r, a, f)$ характеризует среднюю плотность распределения $a$-точек $f(z)$. Справедлива следующая теорема, допускающая геометрическую интерпретацию характеристики $T(r, f)$. Пусть $F_r$ обозначает часть римановой поверхности $f(z)$, соответствующей кругу $\{|z| \leqslant r\}$, а $\pi A(r, f)$ – сферическая площадь поверхности $F_r$, тогда

$$T(r, f)=\int_0^r A(s, f) d \ln s+O(1) \quad(r \rightarrow \infty) .$$С помощью характеристики $T(r, f)$ определяются порядок роста $\rho$ функции $f(z)$ и её нижний порядок роста $\lambda$:

$$\rho=\varlimsup_{r \rightarrow \infty} \frac{\ln T(r, f)}{\ln r},\quad \lambda=\lim _{r \rightarrow \infty} \frac{\ln T(r, f)}{\ln r} .$$Первая основная теорема Неванлинны: при $r \rightarrow \infty$

$$m(r, a, f)+N(r, a, f)=T(r, f)+O(1),$$т. е. сумма $m(r, a, f)+N(r, a, f)$, с точностью до ограниченного при $r \rightarrow \infty$ слагаемого, сохраняет постоянное для различных $a$ значение $T(r, f)$. В этом смысле все значения $w$ для мероморфной функции $f(z)$ являются равноправными. Особый интерес представляет поведение при $r \rightarrow \infty$ функции $N(r, a, f)$. В теории распределения значений используются следующие количественные характеристики роста функций $N(r, a, f)$ и $m(r, a, f)$ по сравнению с ростом характеристики $T(r, f)$:

$$\begin{aligned} \delta(a, f)&=1-\overline{\lim} _{r \rightarrow \infty} \frac{N(r, a, f)}{T(r, f)}=\lim _{\overline{r \rightarrow \infty}} \frac{m(r, a, f)}{T(r, f)} \leqslant 1, \\ \Delta(a, f)&=1-\lim _{\overline{r \rightarrow \infty}} \frac{N(r, a, f)}{T(r, f)}=\overline{\lim} _{r \rightarrow \infty} \frac{m(r, a, f)}{T(r, f)} \leqslant 1 . \end{aligned}$$Величина $\delta(a, f)$ называется дефектом $f(z)$ в точке $a$ в смысле Неванлинны, а величина $\Delta(a, f)$ – дефектом $f(z)$ в точке $a$ в смысле Валирона. Пусть

$$D(f)=\{a: \delta(a, f)>0\}, \quad V(f)=\{a: \Delta(a, f)>0\}.$$Множество $D(f)$ называется множеством дефектных значений $f(z)$ в смысле Неванлинны, а множество $V(f)$ – множеством дефектных значений $f(z)$ в смысле Валирона. Теорема Неванлинны о величинах дефектов и о множестве дефектных значений $f(z)$: для произвольной мероморфной функции $f(z)$ справедливы утверждения: а) множество $D(f)$ не более чем счётно; б) дефекты $f(z)$ удовлетворяют соотношению
$$\tag{1} \sum_{(a)} \delta(a, f) \leqslant 2$$(соотношение дефектов). Постоянная $2$, фигурирующая в $(1)$, – это эйлерова характеристика всей замкнутой плоскости $\mathbb{C} \cup\{\infty\}$, которую накрывает риманова поверхность функции $f(z)$.

Структура множества D(f)

Утверждение Р. Неванлинны о том, что множество $D(f)$ не более чем счётно, усилить нельзя. Справедлива теорема: каково бы ни было конечное или счётное множество $E$ точек из расширенной – комплексной плоскости и каково бы ни было число $\rho$, $0<\rho \leqslant \infty$, существует мероморфная функция $f_\rho(z)$ порядка $\rho$, для которой $E$ совпадает с множеством её дефектных значений $D\left(f_\rho\right)$. Для мероморфных функций нулевого нижнего порядка $D(f)$ может содержать самое большее одну точку. Таким образом, вопрос о структуре множества $D(f)$ полностью решён.

Кроме того, показано, что для каждого $\rho>0,5$ существует целая функция $g_\rho(z)$ порядка $\rho$, для которой множество $D\left(g_\rho\right)$ является счётным. Целые функции нижнего порядка $\lambda \leqslant 0,5$ не могут иметь конечных дефектных значений.

Структура множества V(f)

Множество валироновских дефектных значений $V(f)$ исследовано не в полной мере. Ж. Валирон показал, что существует целая функция $g(z)$ $1$-го порядка, для которой множество $V(g)$ имеет мощность континуума. С другой стороны, справедлива теорема для произвольной мероморфной функции $f(z)$: множество $V(f)$ всегда имеет нулевую логарифмическую ёмкость.

Для каждого множества $E$ класса $F_\sigma$ нулевой логарифмической ёмкости существует целая функция $g(z)$ бесконечного порядка, для которой $E \subset V(g)$.

Свойства дефектов мероморфных функций конечного нижнего порядка

Для мероморфных функций бесконечного нижнего порядка величины дефектов, вообще говоря, не удовлетворяют никаким дополнительным соотношениям, кроме основного соотношения $(1)$. Однако если ограничиться рассмотрением мероморфных функций конечного нижнего порядка, то картина резко меняется. Справедлива теорема: если $f(z)$ имеет конечный нижний порядок $\lambda$, то при любом $\alpha$, $1 / 3 \leqslant \alpha \leqslant 1$,
$$\tag{2} \sum_{(a)} \delta^\alpha(a, f) \leqslant K(\lambda, \alpha),$$где постоянная $K(\lambda, \alpha)$ зависит лишь от $\lambda$ и $\alpha$. С другой стороны, существуют мероморфные функции конечного нижнего порядка, для которых при $\alpha<1 / 3$ ряд, стоящий слева в $(2)$, уже может расходиться. Наличие у мероморфной функции $f(z)$ нижнего порядка $\lambda \leqslant 0,5$ одного дефектного значения $a$ такого, что $\delta(a, f) \geqslant 1-\cos \pi \lambda$, влияет на её асимптотические свойства: такая функция не может иметь других дефектных значений.

Обратная задача теории распределения значений

В несколько упрощённом виде обратную задачу теории распределения значений в каком-либо классе $\mathscr{K}$ мероморфных функций можно сформулировать в следующем виде. Каждой точке некоторой последовательности $\left\{a_k\right\}$ из расширенной комплексной плоскости поставлено в соответствие число $\delta\left(a_k\right)$, $0<\delta\left(a_k\right)<1$, так, что $\sum_k \delta\left(a_k\right) \leqslant 2$. Требуется указать мероморфную функцию $f(z) \in \mathscr{K}$ такую, что $\delta\left(a_k, f\right)=\delta\left(a_k\right)$, $k=1,2, \ldots$, и $\delta(a, f)=0$ для каждого $a \neq a_k$, $k=1,2, \ldots$, либо доказать отсутствие таких функций в $\mathscr{K}$. Обратная задача полностью решена положительно в классе целых функций бесконечного нижнего порядка и в классе мероморфных функций бесконечного нижнего порядка. При решении обратной задачи в классе мероморфных функций конечного нижнего порядка возникают определённые трудности, которые объясняются тем, что в этом случае величины дефектов, кроме основного соотношения $(1)$, подчинены ещё другим соотношениям $(2)$.

Рост мероморфных функций

Пусть для мероморфной функции $f(z)$

$$\begin{aligned} L(r, \infty, f)&=\max _{|z|=r} \ln ^{+}|f(z)|, \\ L(r, a, f)&=L\left(r, \infty, \frac{1}{f-a}\right),\quad a \neq \infty, \\ \beta(a, f)&=\lim _{\overline{r \rightarrow \infty}} \frac{L(r, a, f)}{T(r, f)} . \\ \end{aligned}$$Величина $\beta(a, f)$ называется величиной отклонения мероморфной функции $f(z)$ от числа $a$, а множество $\Omega(f)=\{a: \beta(a, f)>0\}$ называется множеством положительных отклонений мероморфной функции $f(z)$; $D(f) \subseteq \Omega(f)$. Доказано, что если $g(z)$ – целая функция конечного порядка $\rho$, то

$$\beta(\infty, g) \leqslant \begin{cases}\frac{\pi \rho}{\sin \pi \rho}, & \text { если } 0<\rho<0,5, \\ \pi \rho, & \text { если } \rho \geqslant 0,5 .\end{cases}$$Справедлива также теорема: если мероморфная функция $f(z)$ имеет конечный нижний порядок $\lambda$, то а) множество $\Omega(f)$ не более чем счётно; б) для каждого $a$

$$\beta(a, f) \leqslant \begin{cases}\frac{\pi \lambda}{\sin \pi \lambda}, & \text { если } 0<\lambda<0,5, \\ \pi \lambda, & \text { если } \lambda \geqslant 0,5;\end{cases}$$в) при любом $\alpha$, $0,5<\alpha \leqslant 1$,

$$\sum_{(a)} \beta^\alpha(a, f) \leqslant K(\lambda, \alpha),$$где постоянная $K(\lambda, \alpha)$ зависит лишь от $\lambda$ и $\alpha$; г) $\Omega(f) \subseteq V(f)$.

Кроме этого, существуют мероморфные функции бесконечного нижнего порядка, для которых множество $\Omega(f)$ имеет мощность континуума. Множество $\Omega(f)$ [подобно $V(f)$] для каждой мероморфной функции $f(z)$ имеет нулевую логарифмическую ёмкость. Следующая теорема характеризует различия в свойствах величин $\delta(a, f)$ и $\beta(a, f)$: для любого $\lambda, 0 \leqslant \lambda<\infty$, существует мероморфная функция $f_\lambda(z)$ нижнего порядка $\lambda$, для которой при некотором $a$ выполняются соотношения

$$\delta(a, f)=0 \quad \text { и } \quad \beta(a, f) \geqslant 1 .$$

Исключительные значения мероморфных функций в смысле Пикара и Бореля

Значение $a$ называется исключительным значением мероморфной функции $f(z)$ в смысле Пикара, если число $a$-точек $f(z)$ при $\{|z|<\infty\}$ конечно. Значение $a$ называется исключительным значением $f(z)$ в смысле Бореля, если $n(r, a, f)$ при $r \rightarrow \infty$ растёт в определённом смысле медленнее $T(r, f)$. Каждая мероморфная функция, отличная от постоянной, не может иметь более двух борелевских (а значит, и пикаровских) исключительных значений.

Успешно развивается теория распределения значений голоморфных отображений комплексных многообразий – многомерный аналог теории Неванлинны (Гриффитс. 1976; Шабат. 1976), а также теория распределения значений минимальных поверхностей (Петренко. 1981; Beckenbach. 1969).

Распределение значений функций, мероморфных в круге

Выше описана теория распределения значений мероморфных во всей открытой плоскости функций; это параболический случай. Теория роста и распределения значений построена также и для случая гиперболического, т. е. когда $f(z)$ является функцией, мероморфной в единичном круге $\{|z|<1\}$ (Неванлинна. 1941, Петренко. 1978). При этом функции $N(r, a, f), m(r, a, f), L(r, a, f)$ и $T(r, f)$ определяются для каждого $r$, $0 \leqslant r<1$, точно так же, как и в параболическом случае. Дефект $f(z)$ в точке $a$ в смысле Неванлинны и в смысле Валирона определяется соответственно так:

$$\begin{gathered} \delta(a, f)=\lim _{\overline{r \rightarrow 1}} \frac{m(r, a, f)}{T(r, f)}, \\ \Delta(a, f)=\overline{\lim_{r \rightarrow 1}}\frac{m(r, a, f)}{T(r, f)}, \end{gathered}$$а величина

$$\beta(a, f)=\lim _{r \rightarrow 1} \frac{L(r, a, f)}{T(r, f)}$$называется величиной отклонения $f(z)$ относительно значения $a$.

Пусть $D(f)=\{a: \delta(a, f)>0\}$,

$$V(f)=\{a: \Delta(a, f)>0\} \text { и } \Omega(f)=\{a: \beta(a, f)>0\} .$$Основные положения параболического случая о величинах $\delta(a, f), \Delta(a, f)$ и $\beta(a, f)$, а также о структуре множеств $D(f), V(f)$ и $\Omega(f)$ сохраняются и в гиперболическом случае, но не для всех функций, а лишь для функций с быстро растущей (в определённом смысле) при $r \rightarrow 1$ характеристикой $T(r, f)$.