Теоре́ма Торе́лли, теорема обобщения, утверждающая, что структура Ходжа (матрица периодов) в когомологиях $H^*(X, C)$ алгебраического или кэлерова многообразия $X$ полностью характеризует поляризованное многообразие $X$.

Классическая теорема Торелли относится к случаю кривых (см. Torelli. 1913; Weil. 1957) и утверждает, что кривая определяется с точностью до изоморфизма своими периодами. Пусть $X$ – кривая рода $g$, $\gamma_1, \ldots, \gamma_{2 g}$ – базис $H_1(X, \mathbb{Z})$, $\omega_1, \ldots, \omega_g \in H^0\left(X, \Omega_X^1\right)=H^{1,0} \in H^1(X, \mathbb{C})$ – базис абелевых дифференциалов, $(g \times 2 g)$-матрица $\Omega=\left\|\pi_{i j}\right\|$, где $\pi_{i j}=\int_{\gamma_j} \omega_i$, – матрица периодов. Пересечение циклов $\gamma_i \gamma_j=q_{i j}$ определяет билинейную кососимметрическую форму $Q$ в $H_1(X, \mathbb{Z})$. Пусть $X$ и $X^{\prime}$ – две кривые. Тогда если можно выбрать базисы $\gamma$ и $\omega$, относительно которых матрицы периодов $\Omega$ и матрицы пересечений $Q$ кривых совпадают, то $X$ и $X^{\prime}$ изоморфны. Другими словами, если канонически поляризованные якобианы кривых $X$ и $X^{\prime}$ изоморфны, то и $X \simeq X^{\prime}$.

Пусть $X$ – проективное многообразие (или, более общо, компактное кэлерово многообразие), $D=D_k$ – многообразие Гриффитса, связанное с примитивными когомологиями $H^k(X, \mathbb{C})_0$ (см. Oтображение периодов). B $D$ лежат матрицы периодов примитивных $k$-форм на всех многообразиях, гомеоморфных $X$. Периоды зависят от выбора изоморфизма $H^k(X, \mathbb{C})_0$ в фиксированное пространство $H$. Имеется естественно определённая группа $\Gamma$ аналитических автоморфизмов многообразия $D$ такая, что $M=D / \Gamma$ – аналитическое пространство и $X$ определяет единственную точку $\Phi(X) \in M$. При этом $M$ называется модулярным пространством или пространством модулей структур Ходжа.

Глобальная проблема Торелли состоит в выяснении вопроса о том, когда $\Phi(X)$ однозначно определяет $X$ с точностью до изоморфизма. В случае положительного решения проблемы соответствующее утверждение называется (обобщённой) теоремой Торелли. Tеорема Торелли справедлива очевидным образом для абелевых многообразий в случае $1$-форм и в случае $2$-форм (см. Periods of Integrals... I. 1968, Periods of Integrals... II. 1968). По существу, единственный нетривиальный случай решения глобальной проблемы Торелли – случай $K3$-поверхности. Теорема Торелли обобщена также на случай кэлеровых $K3$-поверхностей.

Локальная проблема Торелли заключается в разрешении вопроса о том, когда структуры Ходжа на когомологиях разделяют точки в локальном пространстве модулей (пространстве Кураниси) для многообразия $X$. Пусть $\mathfrak{X} \overset{\pi}{\rightarrow} B$ – семейство поляризованных алгебраических многообразий, $\pi^{-1}(0)=X$, а $M=D / \Gamma$ – многообразие Гриффитса, связанное с периодами примитивных $k$-форм на $X$. Отображение периодов $\Phi: B \rightarrow M$ сопоставляет $t \in B$ матрицу периодов $k$-форм на $\pi^{-1}(t)$. Это отображение голоморфно; вычислено соответствующее касательное отображение $d \Phi$ (cм. Periods of Integrals... I. 1968, Periods of Integrals... II. 1968). Локальная проблема Торелли эквивалентна вопросу о том, когда $d\Phi$ является вложением. Рассматривая отображение, двойственное к $d \Phi$, получают когомологический критерий справедливости локальной теоремы Торелли: если отображение

$$\begin{gathered} \oplus_{0\leqslant r \leqslant[(k-1) / 2] }H^{n-r-1}\left(X, \Omega^{n-k+r+1}\right) \otimes \\ \otimes H^r\left(X, \Omega^{k-r}\right) \stackrel{\mu}{\rightarrow} H^{n-1}\left(X, \Omega^1 \otimes \Omega^n\right) \end{gathered}$$является эпиморфизмом, то периоды $k$-форм дают локальные модули для $X$. Локальная теорема Торелли для кривых эквивалентна тому, что квадратичные дифференциалы порождаются абелевыми дифференциалами. Теорема Нётера утверждает, что это так, если $g=2$ или $g>2$ и $X$ негиперэллиптическая. Локальная теорема Торелли, очевидно, справедлива в случае $k=n$, если канонический класс тривиален. К таким многообразиям относятся абелевы многообразия, гиперповерхности степени $n+2$ в $\mathrm{P}^{n+1}$, $K3$-поверхности. Справедливость локальной теоремы Торелли установлена для различных классов многомерных многообразий. Для неособых гиперповерхностей степени $d$ в $P^{n+1}$ доказано, что отображение периодов является вложением в общей точке, за исключением случая $n=2$, $d=3$ и, возможно, случаев: $d$ делит $n+2$, $d=4$ и $n=4 m$ или $d=6$ и $n=6 m+1$ (cм. Donagi. 1983).