Теоре́ма Лиуви́лля об ограни́ченных це́лых аналити́ческих фу́нкциях, теорема, утверждающая, что если целая функция $f(z)$ комплексных переменных $z = (z_1,\dots,z_n)$ ограничена, т. е.$$|f(z)|\le M<+\infty,\quad z\in\mathbb C^n,$$то f$(z)$ есть константа. Это предложение, одно из основных в теории аналитических функций, впервые, по-видимому, опубликовано в 1844 г. О. Коши (Cauchy. 1844) для случая $n = 1$; Ж. Лиувилль (J. Liouville) излагал его на лекциях в 1847 г., откуда и произошло название.

Теорема Лиувилля допускает обобщения в различных направлениях. Например, если $f(z)$ – целая функция в $\mathbb C^n$ и$$|f(z)|\le M (1+|z|^m),\quad z\in\mathbb C^n,$$для некоторого целого $m\ge 0$, то $f(z)$ есть многочлен по переменным $(z_1,\dots,z_n)$ степени не выше $m$. Далее, если $u(x)$ – действительная гармоническая функция во всём числовом пространстве $\mathbb R^n$, $x = (x_1,\dots, x_n)$, причём$$u(x)\le M (1+|x|^m)\quad (\text{или } -u(x)\le M (1+|x|^m)),$$$x\in \mathbb R^n$, то $u(x)$ есть гармонический многочлен по переменным $(x_1,\dots,x_n)$ степени не выше $m$ (см. также Владимиров. 1964).