Теоре́ма Коши́ – Ковале́вской, теорема, утверждающая существование (единственного) аналитического решения задачи Коши в малом, если функции, задающие дифференциальное уравнение или систему этих уравнений и все начальные данные вместе с их нехарактеристическим носителем, являются аналитическими.

Для системы $k$ дифференциальных уравнений с частными производными с $k$ неизвестными функциями $u_1\left(x, x_0\right), \ldots, u_k\left(x, x_0\right)$ вида

$$\frac{\partial^{m}u_i}{\partial x_0^m}=F_i\left(x_0, x, u, \frac{\partial^{m_1+\ldots+m_n}u}{\partial x_0^{m_0} \ldots \partial x_n^{m_n}}\right), \tag{1}$$где

$$\begin{gathered} i=1, \ldots, k, \quad x=\left(x_1, \ldots, x_n\right), \quad u=\left(u_1, \ldots, u_k\right), \\ \sum_{j=0}^n m_j \leqslant m,\quad m_0<m, \quad m \geqslant 1, \end{gathered}$$теорема Коши – Ковалевской формулируется следующим образом: задача Коши

$$\left.\frac{\partial^j u_i}{\partial x_0^j}\right|_\sigma=\varphi_{i j}(x),\quad i=1, \ldots, k ; \quad j=0,1, \ldots, m-1, \tag{2}$$где $\sigma=\left\{\left(x, x_0\right),\, x_0=0,\, x \in \Omega_0\right\}$ – носитель начальных данных $\varphi_{i j}$, всегда имеет и притом единственное аналитическое решение $u\left(x, x_0\right)$ в некоторой области $\Omega$ пространства переменных $x_0, x$, содержащей $\Omega_0$, если $F_i$ и $\varphi_{i j}$ являются аналитическими функциями всех своих аргументов.

Пусть дана линейная система дифференциальных уравнений вида

$$P(x, D) u \equiv \sum_{|\alpha| \leqslant m} A_\alpha(x) D^\alpha u=B(x), \tag{3}$$где $\alpha=\left(\alpha_0, \alpha_1, \ldots, \alpha_n\right)$ – вектор с неотрицательными целочисленными координатами;

$$|\alpha|=\sum_{j=0}^n \alpha_j$$– порядок дифференциального оператора

$$D^\alpha=D_0^{\alpha_0} D_1^{\alpha_1} \ldots D_n^{\alpha_n}, \quad D_j=\frac{\partial}{\partial x_j},\quad j=0,1, \ldots, n;$$$A_\alpha(x)$, $x=\left(x_0, \ldots, x_n\right)$ – заданная квадратная матрица порядка $N$; $u(x)=\left\|u_j(x)\right\|$, $j=1, \ldots, N$ – искомый вектор-столбец; $B(x)$ – заданный вектор с $N$ компонентами.

Вообще говоря, теорема Коши – Ковалевской не исключает существования неаналитических, помимо аналитического, решений задачи Коши. Однако для линейной системы дифференциальных уравнений (3) с аналитическими коэффициентами ${A}_\alpha(x)$ и условиями Коши на аналитической нехарактеристической поверхности $\sigma$ задача Коши имеет не более одного решения в некоторой окрестности $\Omega_0$ поверхности $\sigma$. При этом не предполагается аналитичность начальных данных и решения $u(x)$.

Решение задачи Коши (1), (2), существование которого гарантируется теоремой Коши – Ковалевской, может оказаться неустойчивым (т. к. малое изменение начальных данных $\varphi_{i j}(x)$ может вызвать сильное изменение решения), например, в том случае, когда система (1) принадлежит эллиптическому типу. При неаналитических начальных данных задача Коши (1), (2) может потерять смысл, если не ограничиться случаем, когда система (1) является гиперболической.

Теорема Коши – Ковалевской для широкого класса уравнений обобщена на случай, когда начальное многообразие является характеристическим в каждой точке (см. Берс. 1966; Бицадзе. 1982). В этом случае начальные функции не могут быть заданы произвольно; они должны удовлетворять определённым условиям, которые диктуются дифференциальным уравнением.

Характеристическая задача Коши может иметь неединственное решение. В частности, имеет место следующее утверждение. Пусть $P(x, D)$ – дифференциальный оператор порядка $m$ с главной частью $P_m(x, D)$ и с вещественными аналитическими коэффициентами, определённый в окрестности $\Omega$ точки $x^0$ из евклидова пространства $\mathbb{R}^n$, $\varphi$ – вещественная аналитическая в $\Omega$ функция, такая, что

$$\operatorname{grad} \varphi\left(x^0\right) \neq 0 \quad \text{и} \quad P_m(x, \operatorname{grad} \varphi)=0,$$но $P_m^{(j)}(x, \operatorname{grad} \varphi) \neq 0$ для некоторого $j$ при $x=x^0$. Тогда существует такая окрестность $\Omega_0$ точки $x^0$ и аналитическая при $\varphi(x) \neq \varphi\left(x^0\right)$ функция $u(x)$ из класса $C^m\left(\Omega_0\right)$, что $P(x, D) u=0$ и

$$\operatorname{supp} u=\left\{x \mid x \in \Omega_0,\,\, \varphi(x) \leqslant \varphi\left(x_0\right)\right\}.$$Если начальное многообразие является характеристическим вдоль некоторых кривых, то, вообще говоря, решение характеристической задачи Коши многозначно в некоторой окрестности начальной поверхности и степень ветвления определяется геометрической природой соответствующих характеристических поверхностей. Теорема доказана С. В. Ковалевской (1875).