Теоре́ма А́беля о сходи́мости рядо́в Дирихле́, если ряд Дирихле

$$\varphi(s)=\sum _{n=1}^\infty a_{n}e^{-\lambda _{n}s}, \quad s=\sigma +it,\quad\lambda _{n}>0,$$сходится в точке $s_{0}=\sigma _{0}+it_{0}$, то он сходится в полуплоскости $\sigma >\sigma_{0}$ и сходится равномерно внутри любого угла $|\mathop{\rm arg}(s-s_{0})|\leqslant \theta <\pi /2$. Является обобщением теоремы Абеля о сходимости степенных рядов (достаточно взять $\lambda_{n}=n$ и обозначить $e^{-s}=z$). Из теоремы следует, что область сходимости ряда Дирихле – некоторая полуплоскость $\sigma >c$, где $c$ – абсцисса сходимости ряда.

Для обыкновенного ряда Дирихле (когда $\lambda _{n}=\ln n$) с известной асимптотикой для сумматорной функции $A_{n}=a_{1}+a_{2}+\ldots +a_{n}$ коэффициентов ряда справедлива следующая теорема: если

$$A_{n}=B\,n^{s_1}(\ln n)^\alpha+O(n^\beta ),$$где $B$, $s_{1}$, $\alpha$ – комплексные числа, $\beta$ – действительное число, $\sigma _{1}-1<\beta <\sigma _{1}$, $\sigma_{1}=\mathop{\rm Re}s_{1}$, то ряд Дирихле сходится при $\sigma _{1}<\sigma$, функция $\varphi(s)$ регулярно продолжается на полуплоскость $\beta <\sigma$, исключая точку $s=s_{1}$, причём

$$\varphi (s)=B\Gamma (\alpha +1)s(s-s_{1})^{-\alpha -1}+g(s),$$если $\alpha \neq -1,\ -2\ldots$,

$$\varphi (s)=B \frac{(-1)^{-\alpha}}{(-\alpha -1)!} s(s-s_{1})^{-\alpha -1} \ln(s-s_{1})+g(s),$$$\alpha =-1,\ -2,\ldots$ Здесь $g(s)$ – регулярная при $\sigma >\beta$ функция.

Например, дзета-функция Римана $\zeta (s)$ ($A_{n}=n$, $B=1$, $s_{1}=1$, $\alpha=0$, $\beta>0$) регулярна по крайней мере в полуплоскости $\sigma >0$, исключая точку $s=1$, в которой она имеет полюс 1-го порядка с вычетом, равным $1$. Эта теорема допускает различные обобщения. Так, если

$$A_{n} =\sum _{j=1}^{k}B_{j}n^{s_j}(\ln\ n)^{\alpha _j}+O(n^\beta ),$$где $B_{j}$, $s_{j}$, $\alpha _{j}$ ($1\leqslant j\leqslant k$) – любые комплексные числа, и $\sigma _{k}-1<\beta <\sigma _{k}<\ldots <\sigma _{1}$, то ряд Дирихле сходится при $\sigma >\sigma _{1}$, $\varphi (s)$ регулярен в области $\sigma >\beta$, исключая точки $s_{1},s_{2},\ldots s_{k},$ в которых он имеет алгебраические или логарифмические особенности. Теоремы такого типа позволяют на основании асимптотики $A_{n}$ получать определённые сведения о поведении ряда Дирихле в некоторой полуплоскости.