Те́нзорный инвариа́нт динами́ческих систе́м, пусть задана гладкая автономная система дифференциальных уравнений

$$\dot{x}^i=v^i(x_1,\ldots,x_n),\,\,i=1,\ldots,n, \tag{1}$$на своём фазовом пространстве – многообразии $M^n\{x_1,\ldots,x_n\}$, $(x_1,\ldots,x_n)=x$.

Данная система порождает гладкую динамическую систему с непрерывным временем $t$ на $M^n\{x\}$.

Гладкое тензорное поле $T(x)$ на многообразии $M^n$ называется инвариантом для системы (1), если производная Ли тензорного поля $T(x)$ вдоль векторного поля $v=(v^1(x),\ldots,v^n(x))$ равна нулю:

$$L_vT(x)=0.$$Напомним, что производная Ли отвечает за скорость изменения тензора $T$ при преобразовании фазового пространства, определяемом фазовым потоком системы (1). Другими словами, производная Ли – это главная линейная часть приращения тензорного поля $T(x)$ при его преобразовании, которое индуцировано локальной однопараметрической группой диффеоморфизмов многообразия $M^n\{x\}$, порождённой векторным полем $v(x)$ системы (1).

Явное выражение для производной Ли тензорного поля $T$ типа $(p,q)$ вдоль векторного поля $v$ в координатах $x$ таково:

$$\begin{aligned} L_vT^{i_1\ldots i_p}_{j_1\ldots j_q}&=v^m\frac{\partial }{\partial x^m}~T^{i_1\ldots i_p}_{j_1\ldots j_q}+ T^{i_1\ldots i_p}_{rj_2\ldots j_q}\frac{\partial v^r}{\partial x^{j_1}}+\ldots+T^{i_1\ldots i_p}_{j_1\ldots j_{q-1}r}\frac{\partial v^r}{\partial x^{j_q}}-\\ & \quad-T^{si_2\ldots i_p}_{j_1\ldots j_{q}}\frac{\partial v^{i_1}}{\partial x^{s}}-T^{i_1\ldots i_{p-1}s}_{j_1\ldots j_{q}}\frac{\partial v^{i_p}}{\partial x^{s}}. \end{aligned}$$Здесь, как всегда делается в тензорном анализе, по повторяющимся индексам производится суммирование.

Приведём важные примеры тензорных инвариантов. Скалярные инварианты $(p=q=0)$ – это первые интегралы системы (1). Действительно, если гладкая на своей области определения функция $F(x)$ является первым интегралом системы (1), то полная её производная в силу системы (1) равна нулю:

$$L_vF(x)=v^m\frac{\partial }{\partial x^m}~F(x)\equiv 0.$$Далее, инвариантные векторные поля $(p=1, q=0)$ – это поля симметрий (коммутирующие с полем $v$). Действительно, если гладкое векторное поле $w(x)$ коммутирует с векторным полем системы (1), то выполнено следующее равенство:

$$L_vw =[v,w]\equiv 0,$$где

$$\left(L_vw\right)^{j} =v^m\frac{\partial }{\partial x^m}~w^{j}-w^{m}\frac{\partial }{\partial x^{m}}~v^{j}.$$Это означает, что фазовый поток системы дифференциальных уравнений, порождаемый полем $w$, переводит решения системы (1) в решения той же системы. Само векторное поле $v$ является одним из инвариантов системы (1) (поскольку коммутирует с самим собой). Этот тензорный инвариант относится к тривиальным инвариантам.

И, наконец, инвариантные внешние дифференциальные формы (когда $p=0$, а тензор – кососимметричен) порождают интегральные инварианты динамических систем. В самом деле, пусть задан кососимметрический тензор $\rho_{ijk}(x_1,x_2,x_3)$, для простоты, в трёхмерном пространстве (многомерный случай разбирается аналогично). Ключевой его ненулевой коэффициент $\rho_{123}(x_1,x_2,x_3)$ порождает дифференциальную форму фазового объёма $\rho_{123}(x_1,x_2,x_3)\,dx^1\wedge dx^2\wedge dx^3$ на многообразии $M^3\{x\}$.

При этом если фазовый объём сохраняется, то выполнено равенство

$$\frac{d}{dt}\int\limits_{\Omega_t}\rho_{123}(x_1,x_2,x_3)dx^1\wedge dx^2\wedge dx^3\equiv 0, \tag{2}$$где $\Omega_t$ – область на фазовом многообразии $M^3\{x\}$, являющаяся образом начальной области $\Omega_0\subset M^3\{x\}$ под действием фазового потока за время $t$ рассматриваемой динамической системы, порождённой векторным полем $v(x)$ на $M^3\{x\}$.

Уравнение (2) можно переписать как

$$\begin{aligned} & L_v\rho_{123}=v^s\frac{\partial }{\partial x^s}~\rho_{123}+\rho_{k23}\frac{\partial v^k}{\partial x^{1}}+\rho_{1l3}\frac{\partial v^l}{\partial x^{2}}+\rho_{12m}\frac{\partial v^m}{\partial x^{3}}=\textrm{div}[\rho_{123}v]=0. \end{aligned}$$Знание тензорных инвариантов гладкой динамической системы облегчает её интегрирование. Разумный подход состоит в следующем: для интегрирования в квадратурах автономной системы из $n$ дифференциальных уравнений, помимо тривиального инварианта, надо знать независимых тензорных инвариантов общим количеством $n-1$.