Автоно́мная систе́ма обыкнове́нных дифференциа́льных уравне́ний, система обыкновенных дифференциальных уравнений, в которую не входит явно независимое переменное $t$ (время). Общий вид автономной системы 1-го порядка в нормальной форме:

$$\dot{x}_{j}=f_{j}\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right), \quad j=1, \ldots, n,$$или, в векторной записи,

$$\dot{x}=f(x). \tag{1}$$Неавтономная система $\dot{x}=f(t, x)$ сводится к автономной системе, если ввести новую неизвестную функцию $x_{n+1}=t$. Исторически автономные системы возникли при описании физических процессов с конечным числом степеней свободы. Автономные системы называются также динамическими или консервативными.

Комплексная автономная система вида (1) эквивалентна вещественной автономной системе

с $2 n$ неизвестными функциями

$$\frac{d}{d t}(\operatorname{Re} x)=\operatorname{Re} f(x), \quad \frac{d}{d t}(\operatorname{Im} x)=\operatorname{Im} f(x) .$$Содержательная теория комплексных автономных систем, отличная от вещественного случая, имеет место в случае аналитических $f(x)$ (см. в статье Аналитическая теория дифференциальных уравнений).

Будем рассматривать автономные системы с действительными коэффициентами и их действительные решения. Пусть $x=\varphi(t)$ – (произвольное) решение автономной системы (1), $\Delta=\left(t_{-}, t_{+}\right)$ – интервал его определения, $x\left(t ; t_{0}, x^{0}\right)$ – решение с начальными данными $x|_{t=t_0}= x^0$. Пусть $G$ – область в $\mathbb{R}^n$ и $f \in C^{1}(G)$. Точка $x^{0} \in G$ называется положением равновесия (точкой покоя) автономной системы (1), если $f\left(x^{0}\right) \equiv 0$. Положению равновесия отвечает решение $\varphi(t) = x^{0}$, $t \in \mathbb{R}=(-\infty,+\infty)$.

Локальные свойства решений

1. Если $\varphi(t)$ – решение, то $\varphi(t+c)$ – решение при любом $c \in \mathbb{R}$.

2. Существование: при любых $t_{0} \in \mathbb{R}$, $x^{0} \in G$ решение $x\left(t ; t_{0}, x^{0}\right)$ существует на некотором интервале $\Delta \ni t$.

3. Гладкость: если $f \in C^{p}(G)$, $p \geqslant 1$, то $\varphi(t) \in C^{p+1}(\Delta)$.

4. Зависимость от параметров: пусть $f=f(x, \alpha)$, $\alpha \in G_{\alpha }\subset \mathbb{R}^m$ ($G_{\alpha}$– область); если $f \in C^{p}\left(G \times G_{\alpha}\right)$, $p \geqslant 1$, то $x\left(t ; t_{0}, x^{0}, \alpha\right) \in C^{p}\left(\Delta \times G_{\alpha}\right)$ (подробнее Петровский. 1970; Понтрягин. 2001; Коддингтон. 1958; Арнольд. 1971).

5. Пусть $x^{0}$ не является положением равновесия, тогда существуют окрестности $V, W$ точек $x^{0}, f\left(x^{0}\right)$ соответственно и диффеоморфизм $y=h(x): V \rightarrow W$ такие, что автономная система имеет вид $\dot{y}=\operatorname{const}$ в $W$.

Замена переменных $x=\varphi(y)$ в автономной системе (1) приводит к системе

$$\dot{y}=\left(\varphi^{\prime}(y)\right)^{-1} f(\varphi(y)) \tag{2}$$[$\varphi^{\prime}(y)$ – матрица Якоби].

Глобальные свойства решений

1. Любое решение $x=\varphi(t)$ автономной системы (1) можно продолжить на интервал $\Delta=\left(t_{-}, t_{+}\right)$. Если $\Delta=\mathbb{R}$, то решение называется неограниченно продолжаемым; если $t_{+}=+\infty$, $t_{-}>-\infty$, то решение называется неограниченно продолжаемым «вперёд по времени» (аналогично – «назад»). Если $t_{+}<+\infty$, то для любого компакта $K \subset \Omega$, $x^{0} \in K$, существует $\tau=\tau(K)<t_{+}$ такое, что точка $x\left(t ; t_{0}, x^{0}\right)$ находится вне $K$ при $t>\tau(K)$ (аналогично при $t_{-}>-\infty$; см. в статье Продолжаемость решений дифференциальных уравнений).

2. Продолжение единственно в том смысле, что любые два решения с общими начальными данными совпадают на общей области их определения.

3. Всякое решение автономной системы принадлежит к одному из трёх типов: a) непериодическое, причём $\varphi\left(t_{1}\right) \neq \varphi\left(t_{2}\right)$ для любых $t_{1} \neq t_{2}$, $t_{j} \in \mathbb{R}$; b) периодическое, непостоянное; c) $\varphi(t)=\operatorname{const}$.

Геометрическая интерпретация автономной системы

Каждому решению $x=\varphi(t)$ ставится в соответствие кривая $\Gamma: x=\varphi(t)$, $t \in \Delta$, лежащая в области $G$. Тогда $G$ называется фазовым пространством автономной системы, $\Gamma$ – фазовой траекторией, решение интерпретируется как движение по фазовой траектории. Фазовым потоком называется отображение $g^{t}: G \rightarrow G$ по формуле $g^{t} x^{0}= x\left(t ; 0, x^{0}\right)$ (т. е. каждая точка сдвигается за время $t$ вдоль фазовой траектории). На своей области определения фазовый поток удовлетворяет условиям: 1) $g^{t} x$ непрерывно по $(t, x)$; 2) справедливо групповое свойство $g^{t_{1}+t_{2}} x=g^{t_{1}} g^{t_{2}} x$.

Имеет место теорема Лиувилля: пусть $D \subset G$ – область с конечным объёмом, $v_{t}$ – объём области $g^{t} D \subset G$; тогда

$$\left.\frac{d v_{t}}{d t}\right|_{t=0}=\int_{D} \operatorname{div} f(x)\, d x .\tag3$$Для гамильтоновой системы из (3) следует сохранение фазового объёма фазовым потоком. Другой вариант равенства (3): пусть $x=\varphi(t, \alpha)$ – семейство решений автономной системы (1), $\alpha=\left(\alpha_{1}, \ldots, \alpha_{n-1}\right) \in G_{\alpha}$ – область, $\varphi \in C^{1}\left(\Delta \times G_{\alpha}\right)$; тогда

$$\frac{d}{d t} \ln I(t, \alpha)=\operatorname{div} f(x),\tag{3'}$$где $I(t, \alpha)=\operatorname{det} \partial x / \partial(t, \alpha)$.

Структура фазовых траекторий

1. Любые две фазовые траектории либо не имеют общих точек, либо совпадают.

2. Всякая фазовая траектория принадлежит к одному из типов: а) гладкая простая незамкнутая жорданова дуга; b) цикл, т. е. кривая, диффеоморфная окружности; с) точка (положение равновесия). Локальная структура фазовых траекторий в малой окрестности точки, отличной от положения равновесия, тривиальна (см. локальное свойство 5 решений): семейство фазовых траекторий диффеоморфно семейству параллельных прямых. Для линейной автономной системы структура фазовых траекторий в окрестности положения равновесия известна, т. к. автономная система интегрируема (Немыцкий. 2017). Для нелинейных автономных систем этот вопрос принадлежит к числу не решённых до конца проблем даже при $n=2$ (см. в статье Качественная теория дифференциальных уравнений). Одним из аспектов этой проблемы является вопрос об устойчивости положения равновесия (см. в статье Теория устойчивости Ляпунова). Ниже приведены некоторые результаты. Пусть $x^{0}, y^{0}$ – положения равновесия систем (1) и

$$\dot{y} = g(y). \tag{1'}$$Далее, пусть $U, V$ – окрестности точек $x^{0}, y^{0}$. Системы (1) и (1') называются эквивалентными в окрестности положения равновесия $x^{0}, y^{0}$, если существуют $U, V$ и взаимно однозначное отображение $h: U \rightarrow V$ такие, что $\left(h \circ f^{t}\right) x=\left(g^{t} \circ h\right) x$ [если $x \in U$, $f^{t} x \in U$, $\left(g^{t} \circ h\right) x \in V$], т. е. при замене $y=h(x)$ траектории автономной системы (1) переходят в траектории автономной системы (1'). Эквивалентность называется дифференцируемой (топологической), если $h$ есть диффеоморфизм (гомеоморфизм). Пусть $x^{0}$ – положение равновесия автономной системы (1), матрица $f^{\prime}\left(x^{0}\right)$ невырождена и не имеет чисто мнимых собственных значений. Тогда автономная система (1) в окрестности $x^{0}$ топологически эквивалентна своей линейной части $y=f^{\prime}\left(x^{0}\right) y$. Полярный пример: автономная система $x=A x$, $y=B y$, где $A, B$ – постоянные матрицы с чисто мнимыми собственными значениями и $n>2$; неизвестно, когда эти автономные системы топологически эквивалентны. Одной из самых фундаментальных задач теории автономных систем является задача о структуре всего семейства фазовых траекторий. Наиболее полные результаты получены при $n=2$, но даже в этом случае задача далека от своего разрешения.