Спектра́льный опера́тор, ограниченный линейный оператор $A$, отображающий банахово пространство $X$ в себя и такой, что для $\sigma$-алгебры $\mathscr{B}$ борелевских множеств $\delta$ на плоскости существует разложение единицы $E(\delta)$ со свойствами: 1) для любого $\delta\in\mathscr{B}$ проектор $E(\delta)$ приводит $A$, т. е. $E(\delta)A=AE(\delta)$, и спектр $\sigma(A_\delta)$ лежит в $\bar{\delta}$, где $A_\delta$ – сужение оператора $A$ на инвариантное подпространство $E(\delta)X$; 2) отображение $\delta\to E(\delta)$ есть гомоморфизм $\mathscr{B}=\{\delta\}$ в булеву алгебру $\{E(\delta)\}$; 3) все проекторы $E(\delta)$ ограничены, т. е. $\|E(\delta)\|\leqslant M$, $\delta\in\mathscr{B}$; 4) разложение единицы $E(\delta)$ счётно аддитивно в сильной топологии пространства $X$, т. е. для любого $x\in X$ и любой последовательности $\{\delta_n\}\subset\mathscr{B}$, состоящей из попарно непересекающихся множеств,

$$E\left(U_{n=1}^\infty\delta_n\right)x=\sum_{n=1}^\infty E(\delta_n)x.$$Понятие спектрального оператора можно распространить на неограниченные замкнутые операторы. При этом в 1) надо дополнительно потребовать, чтобы выполнялось включение $E(\delta)D(A)\subset D(A)$, где $D(A)$ – область определения оператора $A$, и $E(\delta)X\subset D(A)$ для ограниченных $\delta$.

Спектральными операторами являются все линейные операторы в конечномерном пространстве, самосопряжённые и нормальные операторы в гильбертовом пространстве, например оператор

$$Ax(t)=tx+\int_{-\infty}^{\infty} K(t,s)x(s) ds$$в $L_p(-\infty,\infty)$, $1<p<\infty$, на

$$D(A)=\left\{x(t)\left|\int_{_\infty}^\infty |tx(t)|^2 dt\right.\right.<\infty,$$если ядро $K(t, s)$ есть преобразование Фурье борелевской меры $\mu$ на плоскости с полной вариацией $\mathrm{var}\; \mu<1/2\pi$ и такое, что

$$\int_{-\infty}^\infty K(t,s)x(s) ds, \quad \int_{-\infty}^\infty K(t,s)x(t) dt$$суть ограниченные линейные операторы в $L_p(-\infty,\infty)$.

Спектральные операторы обладают рядом важных свойств, например:

$$\lambda\in\delta(A)\Longleftrightarrow\exists\{x_n\}\subset X, \|x_n\|=1, (A-\lambda I)x_n\to 0;$$в случае сепарабельного $X$ точечный и остаточный спектры $A$ не более чем счётны и др.