Случа́йный элеме́нт, обобщение понятия случайной величины. Термин «cлучайный элемент» был введён, по-видимому, М. Фреше (Fréchet. 1948), отмечавшим, что развитие теории вероятностей и расширение области её приложений привело к необходимости перейти от схем, где (случайные) исходы опыта могут быть описаны числом или конечным набором чисел, к схемам, где исходы опыта представляют собой, например, ряды, функции, кривые, преобразования и т. п.

Впоследствии термин «случайный элемент» стал употребляться в основном применительно к выбранным «случайным образом» элементам какого-либо линейного топологического пространства, в первую очередь гильбертовых и банаховых пространств. Точное определение, например, случайного элемента $X$ в банаховом пространстве $\mathfrak X$, напоминает определение случайной величины. Пусть $(\Omega, \mathscr{A},\mathsf{P})$ – некоторое вероятностное пространство, $\mathfrak X$ – банахово пространство, $\mathfrak X^{*}$ – сопряжённое к $\mathfrak X$ пространство. Отображение $X=X(\omega)$ пространства $\Omega$ элементарных событий $\omega$ в $\mathfrak X$ называется случайным элементом, если всякий непрерывный линейный функционал $x^{*}(X(\omega))$ оказывается при этом случайной величиной, т. е. $\mathscr A$-измеримой функцией.

Пусть $\mathscr{L}$ – наименьшая $\sigma$-алгебра, относительно которой измеримы все непрерывные линейные функционалы. $X$ есть случайный элемент в том и только в том случае, когда полные прообразы всех множеств из $\mathscr{L}$ $\mathscr{A}$-измеримы. В случае когда $\mathfrak X$ сепарабельно, $\mathscr{L}$ совпадает с $\sigma$-алгеброй борелевских подмножеств $\mathfrak X$.

На случайные элементы могут быть распространены основные понятия теории вероятностей, такие как характеристическая функция, математическое ожидание, ковариация и т. п.; случайный элемент $X$ называется нормальным (гауссовым), если распределение вероятностей любого непрерывного линейного функционала $x^*(X)$ является нормальным. На последовательности независимых случайных элементов могут быть распространены закон больших чисел, усиленный закон больших чисел, закон повторного логарифма, центральная предельная теорема и другие вероятностные утверждения. Возможность перенесения этих теорем в их классической форме на случай банаховых пространств тесно связана с геометрией пространства. Важно отметить, что эта связь носит взаимный характер, т. к. вероятностные свойства часто оказываются на самом деле вероятностно-геометрическими – их справедливость в данном банаховом пространстве не только определяется геометрическими свойствами пространства, но и сама определяет эти свойства.

Так, например, для того чтобы для любой последовательности независимых одинаково распределённых случайных элементов $X_1, X_2,\ldots$ со значениями в $\mathfrak X$ с нулевыми математическими ожиданиями и $\mathsf{E}\Vert X_j\Vert^2<\infty$ распределение нормированных сумм $\dfrac{X_1+\ldots+X_n}{\sqrt n}$ слабо сходилось к распределению нормального случайного элемента, необходимо и достаточно, чтобы $\mathfrak X$ было т. н. пространством типа $2$ (см. Hoffmann-Jørgensen. 1976).