Ри́совская полугру́ппа ма́тричного ти́па, теоретико-полугрупповая конструкция, определяемая следующим образом. Пусть $S$ – произвольная полугруппа, $I$ и $\Lambda$ – (индексные) множества, $P=\left(p_{\lambda i}\right)$ – $(\Lambda \times I)$-матрица над $S,$ т. е. отображение декартова произведения $\Lambda \times I$ в $S.$ На множестве $M=I \times S \times \Lambda$ определяется операция посредством формулы$$(i, s, \lambda)(j, t, \mu)=\left(i, s p_{\lambda_j} t, \mu\right).$$Тогда $M$ превращается в полугруппу, которая называется рисовской полугруппой матричного типа над полугруппой $S$ и обозначается $\mathscr{M}(S ; I, \Lambda ; P);$ матрица $P$ называется сэндвич-матрицей полугруппы $\mathscr{M}(S ; I, \Lambda ; P).$ Если $S$ есть полугруппа с нулём $0,$ то $Z=\{(i, 0, \lambda) \mid i \in I,~ \lambda \in \Lambda\}$ есть идеал в $M=\mathscr{M}(S; I, \Lambda ; P )$ и фактор-полугруппа Риса $M / Z$ обозначается $\mathscr{M}^0(S ; I, \Lambda ; P);$ в случае когда $S=G^0$ есть группа $G^0$ с присоединённым нулём, вместо $\mathscr{M}^0\left(G^0 ; I, \Lambda\right.; P)$ пишут $\mathscr{M}^0(G ; I, \Lambda ; P)$ и называют эту полугруппу рисовской полугруппой матричного типа над группой с присоединённым нулём $G^0.$ Для полугрупп $\mathscr{M}(G ; I, \Lambda ; P)$ и $\mathscr{M}^0(G ; I, \Lambda ; P)$ группа $G$ называется структурной группой.

Другое представление рисовской полугруппы матричного типа над полугруппой $S$ с нулём и $(\Lambda \times I)$-сэндвич-матрицей $P$ осуществляется следующим образом. $(I \times \Lambda)$-матрица над $S$ называется матрицей Риса, если она содержит не более одного ненулевого элемента. Через $\|a\|_{i\lambda}$ обозначается матрица Риса над $S,$ у которой в $i$-й строке и $\lambda$-м столбце стоит $a,$ а на остальных местах – нули. На множестве всех $(I \times \Lambda)$-матриц Риса над $S$ задаётся операция$$\tag{*} A \circ B=A P B \text {, }$$где в правой части – «обычное» матричное умножение. Относительно этой операции указанное множество образует полугруппу. Отображение $\|a\|_{ i \lambda} \mapsto(i, a, \lambda)$ является изоморфизмом этой полугруппы на полугруппу $\mathscr{M}^0(S ; I, \Lambda ; P) ;$ обозначение $\mathscr{M}^0(S ; I, \Lambda ; P)$ применяется для обеих этих полугрупп. Формула $(*)$ объясняет термин «сэндвич-матрица» для $P.$ Если $G$ – группа, то полугруппа $\mathscr{M}^0(G ; I, \Lambda ; P)$ будет регулярной тогда и только тогда, когда каждая строка и каждый столбец матрицы $P$ содержит ненулевой элемент; всякая полугруппа $\mathscr{M}(G ; I, \Lambda ; P)$ вполне проста, всякая регулярная полугруппа $\mathscr{M}^0(G ; I, \Lambda ; P)$ вполне $0$-проста. Обращение последних двух утверждений составляет основное содержание теоремы Риса (Rees. 1940): всякая вполне простая (вполне $0$-простая) полугруппа изоморфно представима рисовской полугруппой матричного типа над группой (регулярной рисовской полугруппой матричного типа над группой с присоединённым нулём). Если $\mathscr{M}^0(G ; I, \Lambda ; P)$ и $\mathscr{M}^0\left(G^{\prime} ; I^{\prime}, \Lambda^{\prime} ; P^{\prime}\right)$ изоморфны, то группы $G$ и $G^{\prime}$ изоморфны, $I$ и $I^{\prime}$ равномощны, $\Lambda$ и $\Lambda^{\prime}$ равномощны; необходимые и достаточные условия изоморфизма полугрупп $\mathscr{M ^ { 0 }}(G ; I, \Lambda ; P)$ и $\mathscr{M}^0\left(G^{\prime} ; I^{\prime}, \Lambda^{\prime} ; P^{\prime}\right)$ хорошо известны и наряду с только что приведёнными условиями включают вполне определённую связь между сэндвич-матрицами $P$ и $P^{\prime}$ (Rees. 1940; Клиффорд.1972; Ляпин. 1960). В частности, любая вполне $0$-простая полугруппа изоморфно представима рисовской полугруппой матричного типа, у сэндвич-матрицы $P$ которой каждый элемент в данной строке и данном столбце равен либо $0,$ либо единице структурной группы; такая сэндвич-матрица называется нормализованной. Аналогичные свойства выполняются для вполне простых полугрупп.