Ра́нговая стати́стика, статистика, построенная по вектору рангов. Если $R=\left(R_1, \ldots, R_n\right)$ – вектор рангов, построенный по случайному вектору наблюдений $X=\left(X_1, \ldots, X_n\right)$, то любая статистика $T=T(R)$, являющаяся функцией от $R$, называется ранговой статистикой. Классический пример ранговой статистики даёт коэффициент ранговой корреляции Кендалла $\tau$ между векторами $R$ и $1=(1, 1, \ldots, 1)$, который определяется по формуле$$\tau=\frac{1}{n(n-1)} \sum_{i \neq j} \operatorname{sign}(i-j) \operatorname{sign}\left(R_i-R_j\right).$$В классе всех ранговых статистик особое положение занимают т. н. линейные ранговые статистики, которые определяются следующим образом. Пусть $A=\|a(i, j)\|$ – произвольная квадратная матрица порядка $n$. Тогда статистика$$T=\sum_{i=1}^n a\left(i, R_i\right)$$называется линейной ранговой статистикой. Например, коэффициент $\rho$ ранговой корреляции Спирмена между векторами $R$ и $1$, определяемый по формуле$$\rho=\frac{12}{n(n-1)} \sum_{i=1}^n\left(i-\frac{n+1}{2}\right)\left(R_i-\frac{n+1}{2}\right),$$является линейной ранговой статистикой.

Линейные ранговые статистики, как правило, просто устроены в вычислительном отношении, и их распределения вероятностей нетрудно находить. Именно поэтому в теории ранговых статистик играет большую роль понятие проекции ранговых статистик в семейство линейных ранговых статистик. Если $T$ – некоторая ранговая статистика, построенная по случайному вектору $X$, относительно распределения вероятностей которого высказана гипотеза $H_0$, то проекцией $\hat{T}=\hat{T}(R)$ ранговой статистики $T$ в семейство линейных ранговых статистик называют такую линейную ранговую статистику, что $\mathsf{E}\left\{(T-\widehat{T})^2\right\}$ минимально при справедливости $H_0$. Как правило, проекция $\widehat{T}$ достаточно хорошо аппроксимирует ранговую статистику $T$, и разность $T-\hat{T}$ пренебрежимо мала, когда $n \rightarrow \infty$. При справедливости гипотезы $H_0$, согласно которой компоненты $X_1, \ldots, X_n$ случайного вектора $X$ суть независимые случайные величины, проекция $\hat{T}$ ранговой статистики $T$ определяется по формуле$$\tag{*}\widehat{T}=\frac{n-1}{n} \sum_{i=1}^n \hat{a}\left(i, R_i\right)-(n-2) \mathsf{E}\{T\},$$где $\hat{a}(i, j)=\mathsf{E}\left\{T \mid R_i=j\right\}$, $1 \leqslant i, j \leqslant n$.

Существует внутренняя связь между ранговыми статистиками $\tau$ и $\rho$. При справедливости гипотезы $H_0$ проекция $\hat{\tau}$ коэффициента корреляции Кендалла $\tau$ в семейство линейных ранговых статистик с точностью до постоянного множителя совпадает с коэффициентом ранговой корреляции Спирмена $\rho$, а именно:$$\hat{\tau}=\frac{2}{3}\left(1+\frac{1}{n}\right) \rho.$$Из этого равенства следует, что коэффициент корреляции $\operatorname{corr} (\rho, \tau)$ между $\rho$ и $\tau$ равен$$\operatorname{corr}(\rho, \tau)=\sqrt{\frac{\mathrm{D} \hat{\tau}}{D \tau}}=\frac{2(n+1)}{\sqrt{2 n(2 n+5)}},$$т. е. при больших $n$ ранговые статистики $\rho$ и $\tau$ асимптотически эквивалентны.