Ве́ктор ра́нгов, векторная статистика $R = (R_1,\dots,R_n)$, построенная по случайному вектору наблюдений $X=(X_1,\dots,X_n)$, $i$-я компонента которой $R_i = R_i(X)$, $i=1,2,\dots, n$, определяется по правилу$$R_i = \sum_{j=1}^n\delta(X_i-X_j),$$где $\delta(x)$ – характеристическая функция множества $[0,+\infty)$, т. е.$$\delta(x) = \left\{\begin{aligned} & 1,\ \text{если}\ x\ge 0,\\ & 0,\ \text{если}\ x<0. \end{aligned}\right.$$Статистика $R_i$ называется рангом $i$-й компоненты $X_i$, $i= 1,2,\dots, n$, случайного вектора $X$. Определение вектора рангов будет корректным при выполнении следующего условия:$$\mathbf{P}\{R_i=R_j\} = 0,\quad i\ne j,$$которое заведомо выполняется, если распределение вероятностей случайного вектора $X$ задаётся плотностью $p(x)=p(x_1,\dots,x_n)$. В этих условиях из определения вектора рангов следует, что статистика $R$ принимает значения в пространстве $\mathfrak R = \{r\}$ всех перестановок $r = (r_1, r_2, \dots, r_n)$ чисел $1, 2,\dots, n$, при этом реализация $r_i$ ($r_i = 1,2,\dots,n$) ранга $R_i$ численно равна количеству компонент вектора $X$, наблюдённые значения которых не превосходят реализации $i$-й компоненты $X_i$, $i=1,2,\dots,n$.

Пусть $X^{(\cdot)} = (X_{(n1)},\dots, X_{(nn)})$ – вектор порядковых статистик, построенный по вектору наблюдений и $X$. Тогда пара $(R,X^{(\cdot)})$ является достаточной статистикой для распределения вектора $X$, причём сам вектор $X$ однозначно восстанавливается по достаточной статистике $(R,X^{(\cdot)})$. Кроме того, при дополнительном предположении о симметричности плотности вероятности $p(x)$ случайного вектора $X$ относительно перестановок аргументов компоненты $R$ и $X^{(\cdot)}$ достаточной статистики $(R,X^{(\cdot)})$ независимы и$$\mathbf{P}\{R=r\}=\frac{1}{n!},\quad r\in\mathfrak R.$$В частности, если$$p(x) = p(x_1,x_2,\dots,x_n) = \prod_{i=1}^n f(x_i),\tag{1}$$т. е. компоненты $X_1,X_2,\dots,X_n$ случайного вектора $X$ суть независимые одинаково распределяемые случайные величины [$f(x_i)$ – плотность вероятности случайной величины $X_i$], то$$\left.\begin{aligned} \mathbf{P}\{ & R_i=k\} = \frac{1}{n},\quad i=1,2,\dots,n,\\ \mathbf{P}\{R_i=k,\, & R_j=m\}=\frac{1}{n(n-1)},\quad i\ne j,\ k\ne m,\\ & i,j,k,m = 1,2,\dots,n,\\ \mathbf{E}\{R_i\} = \frac{n+1}{2} &,\quad \mathbf{D}\{R_i\} = \frac{n^2-1}{12},\ i=1,2,\dots,n, \end{aligned}\right\}\tag{2}$$для любого $k=1,2,\dots,n$.

При выполнении условия (1) существует совместная плотность вероятности $q(x_i,k)$, $k=1,2,\dots,n$, случайных величин $X_i$ и $R_i$, которая выражается формулой$$q(x_i, k) = \frac{(n-1)!}{(k-1)!(n-k)!}[F(x_i)]^{k-1} [1-F(x_i)]^{n-k} f(x_i),\tag{3}$$где $F(x_i)$ – функция распределения случайной величины $X_i$. Из (2) и (3) следует, что условная плотность вероятности $q(x_i|R_i=k)$ случайной величины $X_i$ при условии, что $R_i=k$ ($k=1, 2,\dots, n$), выражается формулой$$q(x_i|R_i=k) = \frac{n!}{(k-1)!(n-k)!}[F(x_i)]^{k-1} [1-F(x_i)]^{n-k} f(x_i).\tag{4}$$Последняя формула позволяет проследить внутреннюю связь, существующую между вектором наблюдений $X$, вектором рангов $R$ и вектором порядковых статистик $X^{(\cdot)}$, т. к. (4) есть не что иное, как плотность вероятности $k$-й порядковой статистики $X_{(mk)}$, $k= 1, 2,\dots, n$. Кроме того, из (3) следует, что условное распределение ранга выражается формулой$$\mathbf{P}\{R_i = k| X_i\} = \frac{(n-1)!}{(k-1)!(n-k)!}[F(x_i)]^{k-1} [1-F(x_i)]^{n-k}.$$И, наконец, при допущении о существовании моментов $\mathbf{E}\{X_i\}$ и $\mathbf{D}\{X_i\}$ и выполнении (1) из (2) и (3) следует, что коэффициент корреляции $\rho(X_i, R_i)$ между $X_i$ и $R_i$ равен$$\rho(X_i, R_i) = \sqrt{\frac{12(n-1)}{(n+1)\mathbf{D}\{ X_i\}}} \int_{-\infty}^\infty x_i \Big[ F(x_i) -\frac{1}{2}\Big]\, dF (x_i).$$В частности, если $X_i$ подчиняется равномерному распределению на отрезке $[0,1]$, то$$\rho(X_i, R_i) = \sqrt{\frac{n-1}{n+1}}.$$В случае если $X_i$ подчиняется нормальному распределению $N(a, \sigma^2)$, то$$\rho(X_i, R_i) = \sqrt{\frac{3(n-1)}{\pi(n+1)}},$$причём $\rho(X_i, R_i)$ не зависит от параметров нормального закона.