Проекти́вное мно́жество, множество, которое может быть получено из борелевских множеств повторным применением операций проектирования и перехода к дополнению. Проективные множества классифицируются по классам, образующим проективную иерархию. Пусть $I=\omega^\omega$ – бэровское пространство (гомеоморфное пространству иррациональных чисел). Множество $P\subset I^m$ принадлежит: 1) классу $A_1$, если $P$ есть проекция борелевского множества пространства $I^{m+1}$; 2) классу $CA_n$ ($P$ есть $CA_n$-множество), если его дополнение $I^m\setminus P$ есть $A_n$-множество ($n\ge 1$); 3) классу $A_n$ ($P$ есть $A_n$-множество), если $P$ есть проекция $CA_{n-1}$-множества пространства $I^{m+1}$, $n\ge 2$; 4) классу $B_n$, если $P$ принадлежит одновременно классам $A_n$ и $CA_n$, $n\ge 1$. Те же классы получаются заменой проекции непрерывным образом (множества того же пространства $I^m$).

В силу теоремы Суслина класс $A_1$ совпадает с классом $A$-множеств (следовательно, класс $CA_1$ – с классом $CA$-множеств), а класс $B_1$ – с классом борелевских множеств. Для каждого класса $A_n$ построено универсальное множество, и при его помощи доказана следующая теорема о проективной иерархии (теорема «существования», теорема «о непустоте классов»): $B_n\subset A_n\subset B_{n+1}$ (следовательно, $B_n\subset A_n \subset B_{n+1}$), где каждое из включений – строгое. Мощность множества всех проективных множеств пространства $I$ равна $2^{\aleph_0}$.

Каждое $A_2$-множество – объединение $\aleph_1$ борелевских множеств и, значит, счётно или имеет мощность $\aleph_1$ или $2^{\aleph_0}$ (см. Sierpiński. 1925; Jech. 1978). Для класса $A_2$ выполнены принципы униформизации и редукции, а для класса $CA_2$ – (первый) принцип отделимости. Каждый из проективных классов с номером $n\ge 2$ инвариантен относительно $A$-операции. Для каждого из классов $A_n$, $CA_n$ существует $\delta s$-операция, дающая в точности все множества этого класса, исходя из замкнутых множеств. Изучение проективных множеств (даже второго класса) – трудная задача. Многие вопросы теории проективных множеств оказались неразрешимыми в классическом смысле, что полностью подтвердило предвидение (см. Лузин. 1958) «область проективных множеств есть область, где принцип исключённого третьего уже неприменим». Теория проективных множеств получила своё дальнейшее продвижение с привлечением сильных теоретико-множественных предположений, таких как ${\rm MC}$ (существует измеримый кардинал), $PD$ (аксиома проективной определимости), $V=L$.

В предположении ${\rm MC}$: каждое $A_2$-множество измеримо (по Лебегу), обладает свойством Бэра и, если несчётно, содержит (непустое) совершенное подмножество; каждое $A_3$-множество может быть униформизировано $A_4$-множеством.

В предположении $PD$: 1) каждое проективное множество измеримо, обладает свойством Бэра и, если несчётно, содержит совершенное подмножество, может быть униформизировано проективным множеством, точнее: принцип униформизации выполнен для классов $A_{2n}$ и $CA_{2n+1}$; 2) для классов $A_{2n}$ и $CA_{2n+1}$ выполнен принцип редукции, следовательно, для классов $A_{2n+1}$ и $CA_{2n}$ – принцип отделимости.

В предположении $V=L$: 1) существует несчётное $CA$-множество, не содержащее совершенного подмножества, и неизмеримое $B_2$-множество без свойства Бэра; 2) при $n\ge 2$ для класса $A_n$ выполнен принцип униформизации.

Если для класса $A_n$ выполнен принцип униформизации, то выполнен и принцип редукции. При $n\ge 3$ обратная импликация недоказуема в ${\rm ZFC}$. Если существует неизмеримое (или без свойства Бэра) $A_2$-множество, то существует несчётное $CA$-множество, не содержащее совершенного подмножества. Если каждое несчётное $CA$-множество содержит совершенное подмножество, то это же верно для каждого несчётного $A_2$-множества (см. Jech. 1978).

Отмеченные результаты справедливы не только для пространства $I$, но и для числовой прямой и, вообще, для любого полного сепарабельного метрического пространства. Имеет место следующая теорема о топологической инвариантности проективных множеств: гомеоморфный образ проективного множества данного класса, расположенный в том же или любом другом полном сепарабельном метрическом пространстве, есть проективное множество того же класса.