Полугру́ппа с усло́вием коне́чности, полугруппа, обладающая некоторым свойством $\theta$ таким, что всякая конечная полугруппа обладает этим свойством (такое свойство $\theta$ называется условием конечности). В определении свойства $\theta$ могут фигурировать элементы полугруппы, её подполугруппы и т. п.

Примеры условий конечности: периодичность, локальная конечность, финитная аппроксимируемость, конечная порождённость, конечная определённость. Исследования конечно определённых полугрупп в значительной степени ведутся с точки зрения алгоритмических проблем. Наиболее известное условие, при котором конечная порождённость полугруппы влечёт её конечную определённость, – коммутативность (теорема Редеи). Всякая счётная полугруппа вложима в полугруппу с двумя порождающими, а также в полугруппу с тремя идемпотентными порождающими (Рastijn. 1977).

Целый ряд условий конечности формулируется в терминах решётки подполугрупп (например, условие минимальности для подполугрупп). Полугруппа $S$ тогда и только тогда удовлетворяет условию минимальности для подполугрупп, когда $S$ периодическая, имеет лишь конечное число классов кручения, в каждом классе кручения $K_e$ наибольшая подгруппа $G_e$ удовлетворяет условию минимальности для подгрупп, а разность $K_e\setminus G_e$ конечна (Шеврин. 1965). Аналогичное строение имеют полугруппы конечного ранга (конечность ранга означает, что минимальное число порождающих каждой конечно порождённой подполугруппы полугруппы $S$ не превосходит фиксированного числа), полугруппы конечной ширины (конечность ширины для $S$ означает, что из любого конечного множества $M$ её элементов можно выделить подмножество, порождающее ту же подполугруппу, что и $M$, мощность которого не превосходит фиксированного числа), периодические полугруппы с условием максимальности для подполугрупп и др. (см. Шеврин. Одна общая теорема ... 1974; Шеврин. К теории периодических полугрупп. 1974).

Инверсная полугруппа удовлетворяет условию минимальности для инверсных подполугрупп тогда и только тогда, когда она обладает главным рядом (см. в статье Идеальный ряд полугруппы), каждый фактор которого есть полугруппа Брандта с конечным числом идемпотентов, все максимальные подгруппы которой удовлетворяют условию минимальности для подгруппы. Аналогичные описания получены для условия максимальности, конечности ранга и др. (Ершова. 1977).

Из условий конечности, формулируемых в терминах частично упорядоченного множества идеалов полугруппы, наиболее известны условия минимальности $M_L$, $M_R$, $M_J$ для главных левых, правых, двусторонних идеалов (эти условия часто определяются в терминах $\mathscr L$, $\mathscr R$ и $\mathscr J$-классов, см. Отношения эквивалентности Грина). Аналогично определяется условие $M_H$ для $\mathscr H$-классов. Конъюнкция условий $M_L$ и $M_R$ эквивалентна конъюнкции условий $M_J$ и $M_H$, в остальном эти условия независимы; в частности, полугруппа с условиями $M_L$ и $M_J$ не обязательно удовлетворяет условиям $M_R$ и $M_H$. Вместе с тем полупростая (см. в статье Главный фактор полугруппы) полугруппа с условием $M_L$ или $M_R$ удовлетворяет условию $M_J$. Для регулярных полугрупп все четыре условия эквивалентны; всякая полугруппа с условием $M_H$ будет квазипериодической. Конечно порождённая полугруппа с условием $M_L$ или $M_R$, все подгруппы которой конечны, сама конечна (Hotzel. 1979).

Полугруппа с условием минимальности для правых конгруэнций является периодической, удовлетворяет условию $M_L$ и двойственному условию максимальности для главных левых идеалов; если при этом все её подгруппы конечны, то сама полугруппа конечна (Hotzel. 1979). В инверсных полугруппах условие минимальности для правых конгруэнций эквивалентно условию минимальности для левых конгруэнций, а также тому, что полугруппа имеет лишь конечное число идемпотентов и удовлетворяет условию минимальности для подгрупп (Kozhukhov. 1980). Изучен ряд свойств полугрупп с условием максимальности для односторонних конгруэнций. Коммутативная полугруппа удовлетворяет условию минимальности (максимальности) для конгруэнций тогда и только тогда, когда она имеет главный ряд и удовлетворяет условию минимальности для подгрупп (Kozhukhov. 1980) (конечно порождена).