Периоди́ческая полугру́ппа, полугруппа, в которой каждая моногенная подполугруппа конечна (другими словами, каждый элемент имеет конечный порядок). Всякая периодическая полугруппа имеет идемпотенты. Множество $K_e$ всех элементов периодической полугруппы, некоторая (зависящая от элемента) степень которых равна данному идемпотенту $e$, называется классом кручения, соответствующим этому идемпотенту. Множество $G_e$ всех элементов из $K_e$, для которых $e$ служит единицей, является $\mathscr{H}$-классом (см. Oтношения эквивалентности Грина), наибольшей подгруппой в $K_e$ и идеалом в подполугруппе $\left\langle K_e\right\rangle$, порождённой $K_e$; таким образом $\left\langle K_e\right\rangle$ будет гомогруппой (см. Минимальный идеал). Периодическая полугруппа с единственным идемпотентом называется унипотентной. Унипотентность периодической полугруппы $S$ эквивалентна каждому из следующих условий: $S$ есть идеальное расширение группы при помощи нильполугруппы, $S$ есть подпрямое произведение группы и нильполугруппы.

Разбиение периодической полугруппы на классы кручения играет определяющую роль при изучении многих вопросов для периодических полугрупп. Произвольный класс кручения необязательно является подполугруппой: минимальный контрпример – пятиэлементная полугруппа Брандта $B_2$, изоморфная рисовской полугруппе матричного типа над единичной группой с единичной сэндвичматрицей $2$-го порядка. В периодической полугруппе $S$ все классы кручения будут подполугруппами тогда и только тогда, когда $S$ не содержит подполугруппы, являющейся идеальным расширением унипотентной полугруппы при помощи $B_2$; в этом случае разбиение $S$ на классы кручения необязательно будет связкой. Известны различные (в том числе необходимые и достаточные) условия, при которых периодическая полугруппа есть связка классов кручения; это, очевидно, имеет место для коммутативных полугрупп, это верно для периодических полугрупп с двумя идемпотентами (Prosvirov. 1971).

В любой периодической полугруппе отношения Грина $\mathscr{D}$ и $\mathscr{J}$ совпадают; $O$-простая периодическая полугруппа будет вполне $O$-простой. Для периодической полугруппы $S$ следующие условия эквивалентны: 1) $S$ – архимедова полугруппа, 2) все идемпотенты из $S$ попарно несравнимы относительно естественного частичного порядка (см. Идемпотент), 3) $S$ есть идеальное расширение вполне простой полугруппы при помощи нильполугруппы. Известно много условий, эквивалентных тому, что периодическая полугруппа $S$ разлагается в связку (а тогда и в полурешётку) архимедовых полугрупп; среди них: 1) для любого $a \in S$ и для любого идемпотента $e \in S$, если $e \in S a S$, то $e \in S a^2 S$ (см. Putcha. 1973); 2) в $S$ каждый регулярный $\mathscr{D}$-класс есть подполугруппа; 3) каждый регулярный элемент из $S$ является групповым.

Пусть $S$ – бесконечная периодическая полугруппа, $E_S$ – множество всех её идемпотентов. Если $E_S$ конечно, то $S$ содержит бесконечную унипотентную подполугруппу, если $E_S$ бесконечно, то $S$ содержит бесконечную подполугруппу, являющуюся нильпотентной полугруппой или полугруппой идемпотентов (Шеврин. 1974).

Важный подкласс периодической полугруппы составляют локально конечные полугруппы. Более широкий класс составляют квазипериодические полугруппы ($S$ называется квазипериодической, если некоторая степень каждого её элемента лежит в подгруппе $G \subseteq S$). Многие свойства периодической полугруппы переносятся на квазипериодические полугруппы.