Положи́тельно определённая фу́нкция, комплекснозначная функция $\varphi$ на группе $G$, удовлетворяющая неравенству

$$\sum_{i, j=1}^m \alpha_i \overline{\alpha_j} \varphi\left(x_j^{-1} x_i\right) \geqslant 0$$для любых наборов $x_1, \ldots, x_m \in G$, $\alpha_1, \ldots, \alpha_m \in \mathbb{C}$. Совокупность положительно определённых функций на $G$ образует конус в пространстве $M(G)$ всех ограниченных функций на $G$, замкнутый относительно операций умножения и комплексного сопряжения.

Причина выделения этого класса функций состоит в том, что именно положительно определённые функции определяют положительные функционалы на групповой алгебре $\mathbb{C} G$ и унитарные представления группы $G$. Точнее, пусть $\varphi: G \rightarrow \mathbb{C}$ – произвольная функция и $l_{\Phi}: \mathbb{C} G \rightarrow \mathbb{C}$ – функционал, заданный равенством

$$l_{\varphi}\left(\sum_{g \in G} \alpha_g g\right)=\sum_{g \in G} \varphi(g) \alpha_g g,$$тогда для положительности $l_{\varphi}$ необходимо и достаточно, чтобы $\varphi$ была положительно определённой функцией. Далее, $l_{\varphi}$ определяет *-представление алгебры $\mathbb{C} G$ в гильбертовом пространстве $H_{\varphi}$ и, следовательно, унитарное представление $\pi_{\varphi}$ группы $G$, причём $\varphi(g)=\left(\pi_{\varphi}(g) \xi, \xi\right)$ для некоторого $\xi \in H_{\Phi}$. Верно и обратное: для любого представления $\pi$ и любого вектора $\xi \in H_{\Phi}$ функция $g \rightarrow(\pi(g) \xi, \xi)$ является положительно определённой функцией.

Если $G$ – топологическая группа, то представление $\pi_\varphi$ слабо непрерывно тогда и только тогда, когда положительно определённая функция непрерывна. Если $G$ локально компактна, то непрерывные положительно определённые функции взаимно однозначно соответствуют положительным функционалам на $L^1(G)$.

Для коммутативных локально компактных групп класс положительно определённых функций совпадает с классом преобразований Фурье конечных положительных мер на двойственных группах. Имеется аналог этого утверждения для компактных групп: непрерывная функция $\varphi$ на компактной группе $G$ является положительно определённой функцией тогда и только тогда, когда её преобразование Фурье $\hat{f}(b)$ принимает положительные (операторные) значения на каждом элементе двойственного объекта, т. е.

$$\int_G f(g)(\sigma(g) \xi, \xi)\, d g \geqslant 0$$для всякого представления $\sigma$ и всякого вектора $\xi \in \pi_\sigma$.