Перестро́йка Мо́рса (хирургия), преобразование гладких многообразий, которому подвергается многообразие уровня гладкой функции при переходе через невырожденную критическую точку; важнейшая конструкция в топологии многообразий.

Пусть $V$ – гладкое $n$-мерное многообразие (без края), в которое (гладко) вложена $(\lambda-1)$-мерная сфера $S^{\lambda-1}$. Предположим, что нормальное расслоение сферы $S^{\lambda-1}$ в многообразии $V$ тривиально, т. е. замкнутая трубчатая окрестность $T$ сферы $S^{\lambda-1}$ в $V$ разлагается в прямое произведение $T=S^{\lambda-1}\times D^{n-\lambda+1}$, где $D^{n-\lambda+1}$ – диск размерности $n-\lambda+1$. Выбрав такое разложение, вырежем из $V$ внутренность окрестности $T$. Получится многообразие, край которого разложен в произведение $S^{\lambda-1}\times S^{n-\lambda}$ сфер. Но точно такой же край имеет многообразие $D^{\lambda}\times S^{n-\lambda}$. Отождествив края многообразий $V\backslash \operatorname{int T}$ и $D^{\lambda}\times S^{n-\lambda}$ по диффеоморфизму, сохраняющему структуру прямого произведения $S^{\lambda-1}\times S^{n-\lambda}$, снова получим многообразие $V^\prime$ без края, которое и называется результатом перестройки Морса многообразия $V$ вдоль сферы $S^{\lambda-1}$.

Для осуществления перестройки Морса необходимо задать разложение окрестности $T$ сферы $S^{\lambda-1}$ в прямое произведение, т. е. тривиализацию нормального расслоения сферы $S^{\lambda-1}$ в многообразии $V$, при этом разные тривиализации (оснащения) могут давать существенно различные (даже гомотопически) многообразия $V^\prime$.

Число $\lambda$ называется индексом перестройки Морса, а пара $(\lambda, n-\lambda + 1)$ её типом. Если $V^\prime$ получается из $V$ перестройкой Морса типа $(\lambda, n-\lambda + 1)$, то $V$ получается из $V^\prime$ перестройкой Морса типа $(n-\lambda+1, \lambda)$. При $\lambda = 0$ многообразие $V^\prime$ является дизъюнктным объединением многообразия $V$ (которое может быть в этом случае пустым) и сферы $S^n$. Конструкция перестройки Морса может быть проведена также для кусочно-линейных и топологических многообразий.

Пример. При $V=S^2$ и $\lambda=2$ в результате перестройки Морса получается дизъюнктное объединение двух сфер, а при $\lambda=1$ – тор. При $V=S^3$ и $\lambda=2$ получается произведение $S^1\times S^2$. Случай $V=S^3$ и $\lambda=1$ сложнее: если сфера $S^{\lambda-1} = S^1$ вложена в $S^3$ стандартным образом (большая окружность), то в зависимости от выбора её тривиализации нормального расслоения получаются всевозможные линзовые пространства; если же допустить заузливание сферы $S^1$, то получается ещё больший набор трёхмерных многообразий.

Если $V$ является краем $(n+1)$-мерного многообразия $M$, то $V^1$ будет краем многообразия $M^\prime$, полученного из $M$ приклеиванием ручки индекса $M^\prime$. В частности, если $f$ – гладкая функция на многообразии $M$ и $a < b$ – такие числа, что множество $f^{-1}[a, b]$ компактно и содержит единственную критическую точку $p$, которая невырожденна, то многообразие $V^b=f^{-1}(b)$ получается из многообразия $V^a=f^{-1}(a)$ перестройкой Морса индекса $\lambda$, где $\lambda$ – индекс Морса критической точки $p$. Более общим образом, любая перестройка $V^\prime$ многообразия $V$ индекса $\lambda$ определяет некоторый бордизм $(W; V, V^\prime)$ $($получающийся из произведения $V \times[0, 1]$ приклеиванием ручки индекса $\lambda$ к его «правому краю» $V \times \{1\})$, и на триаде $(W; V, V^\prime)$ существует функция Морса, обладающая единственной критической точкой индекса $\lambda$, причём любой бордизм $(W; V, V^\prime)$, на котором существует такого рода функция Морса, получается этим способом. Отсюда (и из существования на триадах функций Морса) следует, что два многообразия тогда и только тогда бордантны, когда одно из них получается из другого конечной последовательностью перестроек Морса.

При известных предосторожностях в обращении с ориентациями результат перестройки Морса ориентированного многообразия будет снова ориентированным многообразием. Вообще, для любой структурной серии $(B, \varphi)$ [см. $(B, \varphi)$-структуры] можно определить понятие $(B, \varphi)$-перестройки Морса; при этом два многообразия тогда и только тогда $(B, \varphi)$-бордантны, когда они связаны друг с другом конечной последовательностью $(B, \varphi)$-перестроек Морса.

Важная роль перестройки Морса в топологии многообразий объясняется тем, что они позволяют «деликатно» (не нарушая тех или иных свойств многообразия) уничтожать «лишние» гомотопические группы (обычно используемая с этой целью в теории гомотопий операция «приклеивания клетки» мгновенно выводит из класса многообразий). Практически все теоремы классификации структур на многообразиях основываются на изучении вопроса, когда для отображения $f \colon M \to X$ замкнутого многообразия $M$ в клеточное пространство $X$ существуют такой бордизм $(W; M, N)$ и такое отображение $F \colon W \to X$, что $F|_M = f$, а $F|_N \colon N \to X$ является гомотопической эквивалентностью. Естественный путь решения этой задачи состоит в том, чтобы последовательностью перестроек Морса уничтожить ядра гомоморфизмов $f_* \colon \pi_i(M) \to \pi_i(X)$ $($где $\pi_i$ – гомотопические группы$)$. Если это удаётся, то результирующее отображение будет гомотопической эквивалентностью. Изучение соответствующих препятствий [лежащих в т. н. группах Уолла (Мищенко. 1976)] явилось одним из главнейших стимулов в развитии алгебраической K-теории.