p-а́лгебра Ли (ограниченная алгебра Ли), алгебра $L$ над полем $k$ характеристики $p>0$ (или более общо: над кольцом простой характеристики $p>0$), снабжённая таким $p$-отображением $x \rightarrow x^{[p]}$, что выполняются следующие соотношения:$$\begin{gathered} \operatorname{ad}\left(x^{[p]}\right)=(\operatorname{ad} x)^{[p]}, \\ (\lambda x)^{[p]}=\lambda^p x^{[p]} \text {, } \\ (x+y)^{[p]}=x^{[p]}+y^{[p]}+\Lambda_p(x, y). \end{gathered}$$Здесь $\operatorname{ad}x: y \rightarrow[x, y]$ – внутреннее дифференцирование алгебры $L$, определяемое элементом $x \in L$ (оператор присоединённого представления), а $\Lambda_p(x, y)$ элемент из $L$, являющийся линейной комбинацией одночленов Ли$$\left(\operatorname{ad} x_1 \ldots \text { ad } x_{p-1}\right) x$$с $x_i=x$ или $y$ для всех $i=1, \ldots, p-1$.

Типичный пример $p$-алгебры Ли получается, если рассмотреть произвольную ассоциативную алгебру $A$ над $k$ как универсальную алгебру с двумя производными операциями:

i) $(x, y) \longrightarrow[x, y]=x y-y x$,

ii) $x \rightarrow x^p$.

В частности, свойство $\operatorname{ad}\left(x^p\right)=(\operatorname{ad} x)^p$ является прямым следствием тождества$$(\operatorname{ad} x)^n y=\sum_{j=1}^n(-1)^j\left(\begin{array}{l} n \\ j \end{array}\right) x^{n-j} y x^{j}$$при $n=p$, когда $\Big(\!\begin{array}{l}n \\ j\end{array}\!\Big)=0$, $j=1, \ldots, p-1$. Т. к. всякая алгебра Ли вложима в подходящим образом выбранную ассоциативную алгебру $A$ с операциями i – ii (теорема Пуанкаре – Биркгофа – Витта), то часто $x^{[p]}$ заменяют, с некоторой долей двусмысленности, на $x^p$.

Для всякой $p$-алгебры Ли $L$ существует $p$-универсальная (ограниченная универсальная) обёртывающая ассоциативная алгебра $U_p(L)$. Если $\operatorname{dim}_k L=n$, то $\operatorname{dim}_k U_p(L)=p^n$. Это же замечание показывает, что для произвольной алгебры Ли имеет смысл говорить о её наименьшей $p$-оболочке, или о $p$-замыкании.

Обычная подалгебра Ли $M$ (идеал Ли) в $L$ называется $p$-подалгеброй ($p$-идеалом), если $x^{[p]} \in M$ для всех $x \in M$. Гомоморфизм $\varphi: L \rightarrow K$ $p$-алгебры Ли называется $p$-гомоморфизмом, коль скоро$$\varphi\left(x^{[p]}\right)=(\varphi(x))^{[p]}, \quad x \in L.$$Если при этом $K$ – линейная $p$-алгебра Ли над $k$, то говорят также о $p$-представлении $\varphi$ алгебры $L$.

Задание $p$-структуры $x \rightarrow x^{[p]}$ на алгебре Ли $L$ с базисом $\left\{e_1, e_2, \ldots\right\}$ и нулевым центром $Z(L)$ единственно и вполне определяется заданием образов $e_i^{[p]}$ базисных элементов $e_i$. С другой стороны, коммутативная алгебра Ли $L$, для которой всегда, очевидно, $\Lambda_p(x, y)=0$, снабжается $p$-структурой путём рассмотрения пары $(L, \pi)$, где $\pi$ – произвольное $p$-полулинейное отображение$$\pi(x+y)=\pi(x)+\pi(y), \quad \pi(\lambda x)=\lambda^p \pi(x), \quad \lambda \in k.$$Над алгебраически замкнутым полем $k$ всякая конечномерная коммутативная $p$-алгебра Ли $L$ разлагается в прямую сумму $L=L_0 \oplus L_1$ тора$$L_0=\left\langle e_1, \ldots, e_r \mid e_i^{[p]}=e_i\right\rangle$$и нильпотентной подалгебры $L_1$ с тождеством$$x^{\left[p^m\right]}=\left(x^{\left[p^{m-1}\right]}\right)[p]=0$$для достаточно большого $m$ (Джекобсон. 1964).

Важным источником $p$-алгебр Ли служат теория алгебраических групп, теория формальных групп и теория несепарабельных полей (Seligman. 1967). Алгебра Ли $\operatorname{Der}_k(A)$ всех дифференцирований произвольной алгебры $A$ является $p$-подалгеброй в $\operatorname{End}_k(A)$. Если, в частности, $A=k[X] / X^p k[X]$, то $W_1=\operatorname{Der}_k(A)$ натянута на дифференцирования $d_i: X \rightarrow X^{i+1}$, $i=-1,0,1, \ldots, p-2$, с правилом коммутирования$$\begin{array}{lll} {\left[d_i, d_j\right]=(j-i) d_{i+j}} & \text { при } & i+j \leqslant p-2, \\ {\left[d_i, d_j\right]=0} & \text { при } & i+i>p+2 \end{array}$$и $p$-структурой$$d_i^{[p]}=0 \quad \text { при } \quad i \neq 0, d_0^{[p]}=d_0.$$Этот пример простой $p$-алгебры Ли послужил поводом к поискам других простых алгебр. Все известные к настоящему времени конечномерные простые $p$-алгебры Ли над алгебраически замкнутым полем $k$ характеристики $p>5$ исчерпываются алгебрами классического типа (вместе с пятью исключительными): $A_n$, $n \geqslant 1$; $B_n$, $n \geqslant 2$; $C_n$, $n \geqslant 3$; $D_n$, $n \geqslant 4$; $G_2$; $F_4$; $E_6$; $E_7$; $E_8$ – и алгебрами картановского типа: $W_n$, $n \geqslant 1$; $S_n$, $n \geqslant 2$; $H_n$, $n \geqslant 1$; $K_n$, $n \geqslant 2$. Размерности последних четырёх алгебр равны соответственно $n p^n$, $n\left(p^{n+1}-1\right)$, $p^{2 n}-2$ и $p^{2 n-1}-\varepsilon$, где $\varepsilon=0$ при $n+2 \not \equiv 0(p)$ и $\varepsilon=1$ при $n+2 \equiv 0(p)$. Все эти алгебры определены над простым подполем поля $k$, так что неизоморфных простых $p$-алгебр фиксированной размерности – конечное число (как правило, $0$, $1$ или $2$). Недоказанная пока гипотеза, возникшая в связи с работой Кострикина А. И. (Кострикин. 1966), заключается в том, что других конечномерных простых $p$-алгебр Ли в этом случае не существует. При $p=2,3,5$, однако, ситуация заведомо сложнее.