Отрица́тельное биномиа́льное распределе́ние, распределение вероятностей случайной величины $X$, принимающей целые неотрицательные значения $k=0,1,2, \ldots$ в соответствии с формулой

$$\mathrm{P}\{X=k\}=G_{r+k-1}^k p^r(1-p)^k \tag{*}$$при любых действительных значениях параметров $0<p<1$ и $r>0$. Производящая функция и характеристическая функция отрицательного биномиального распределения задаются формулами:

$$P(z)=p^r(1-q z)^{-r}$$и

$$f(t)=p^r\left(1-q e^{i t}\right)^{-r},$$где $q=1-p$. Математическое ожидание и дисперсия равны соответственно $r q / p$ и $r q / p^2$. Функция распределения отрицательного биномиального распределения для значений $k=0,1,2, \ldots$ определяется через значения функции бета-распределения в точке $p$ следующим соотношением:

$$F(k)=\mathrm{P}\{X<k\}=\frac{1}{\mathrm{B}(r, k+1)} \int_0^p x^{r-1}(1-x)^k\, d x,$$где $В (r, k+1)$ – бета-функция.

Происхождение термина «отрицательное биномиальное распределение» объясняется тем, что это распределение порождается биномом с отрицательным показателем, а именно: вероятности (*) являются коэффициентами разложения $p^r(1-q z)^{-r}$ по степеням $z$.

Отрицательное биномиальное распределение встречается во многих приложениях теории вероятностей. При целом $r>0$ отрицательное биномиальное распределение интерпретируется как распределение времени ожидания $r$-го «успеха» в схеме испытаний Бернулли с вероятностью «успеха» $p$; в такой форме оно называется обычно распределением Паскаля и является дискретным аналогом гамма-распределения. При $r=1$ отрицательное биномиальное распределение совпадает с геометрическим распределением. Часто отрицательное биномиальное распределение появляется в задачах, связанных с рандомизацией параметров распределений: например, если $Y$ случайная величина, имеющая распределение Пуассона со случайным параметром $\lambda$, который, в свою очередь, имеет гамма-распределение с плотностью

$$\frac{1}{\Gamma(\mu)} x^{\mu-1} e^{-\alpha x},\quad x>0, \quad \mu>0,$$то распределение $Y$ будет отрицательным биномиальным распределением с параметрами $r=\mu$ и $p=\alpha /(1+\alpha)$. Отрицательное биномиальное распределение служит предельной формой распределения Пойа.

Сумма независимых случайных величин $X_1, \ldots, X_n$, имеющих отрицательное биномиальное распределение с параметрами $p$ и $r_1, \ldots, r_n$, соответственно, имеет отрицательное биномиальное распределение с параметрами $p$ и $r_1+\ldots+r_n$. При больших $r$ и малых $q$, когда $r q \sim \lambda$, отрицательное биномиальное распределение приближается распределением Пуассона с параметром $\lambda$. Многие свойства отрицательного биномиального распределения определяются тем фактом, что оно представляет собой обобщённое распределение Пуассона.