Норма́льная фо́рма систе́мы обыкнове́нных дифференциа́льных уравне́ний

$$\dot{x}_i=\varphi_i\left(x_1, \ldots, x_n\right), \quad i=1, \ldots, n, \tag{1}$$вблизи инвариантного многообразия $M$, такая формальная система

$$\dot{y}_i=\psi_i\left(y_1, \ldots, y_n\right), \quad i=1, \ldots, n, \tag{2}$$которая получается из (1) обратимой формальной заменой координат

$$x_i=\xi_i\left(y_1, \ldots, y_n\right), \quad i=1, \ldots, n, \tag{3}$$и в которой ряды Тейлора – Фурье $\psi_i$ содержат только резонансные члены. Впервые нормальная форма для одного случая встречается в диссертации А. Пуанкаре (см. Пуанкаре. Т. 3. 1974). Посредством нормальной формы (2) некоторые системы (1) интегрируются, многие исследуются на устойчивость и интегрируются приближённо, для систем (1) отыскиваются периодические решения и семейства условно периодических решений, изучаются их бифуркации.

Нормальная форма в окрестности неподвижной точки

Пусть $M$ – неподвижная точка $X \equiv \left(x_1, \ldots, x_n\right)=0$ системы (1) [т. е. $\varphi_i(0)=0$], функции $\varphi_i$ аналитичны в ней и $\lambda_1, \ldots, \lambda_n$ – собственные значения матрицы $\left\|\partial \varphi_i / \partial x_j\right\|$ при $X=0$. Пусть $\Lambda=\left(\lambda_1, \ldots, \lambda_n\right) \neq 0$. Тогда в полной окрестности точки $X=0$ система (1) имеет следующую нормальную форму (2): матрица $\left\|\partial \psi_i / \partial y_j\right\|$ при ${Y} \equiv\left(y_1, \ldots, y_n\right)=0$ имеет нормальную форму (например, жорданову), а ряды Тейлора

$$\psi_i=y_i \sum_{Q \in N_i} g_{iQ} Y^Q, \quad i=1, \ldots, n, \tag{4}$$содержат только резонансные члены, для которых

$$(Q, \Lambda) \equiv q_1 \lambda_1+\ldots+q_n \lambda_n=0. \tag{5}$$Здесь $Q=\left(q_1, \ldots, q_n\right)$, $Y^Q=y_1^{q_1} \ldots y_n^{q_n}$,

$$N_i=\left\{Q:\,\, \text { целые }\,\, q_j \geqslant 0,\,\, q_i \geqslant-1,\,\, q_1+\ldots+q_n \geqslant 0\right\}.$$Если уравнение (5) не имеет в $N=N_1 \cup \ldots\cup N_n$ решений $Q \neq 0$, то нормальная форма (2) является линейной:

$$\dot{y}_i=\lambda_i y_i, \quad i=1, \ldots, n.$$Всякая система (1) с $\Lambda \neq 0$ в окрестности неподвижной точки приводится к своей нормальной форме (2) некоторым формальным преобразованием (3), где $\xi_i$ – степенные ряды (возможно, расходящиеся), $\xi_i(0)=0$ и $\operatorname{det}\left\|\partial \xi_i / \partial y_j\right\| \neq 0$ при ${Y}=0$.

Вообще говоря, нормализующее преобразование (3) и нормальная форма (2) [т. е. коэффициенты $g_{i Q}$ в (4)] неоднозначно определяются исходной системой (1). Нормальная форма (2) сохраняет многие свойства системы (1): вещественность, симметричность, гамильтоновость и др. (см. Брюно. 1971; 1979). Если в исходной системе имеются малые параметры, то их можно включить в число координат $x_j$, тогда $\dot{x}_j=0$. При нормализующем преобразовании такие координаты не меняются (см. Брюно. 1979).

Если $k$ – число линейно независимых решений $Q \in N$ уравнения (5), то с помощью преобразования

$$y_i=z_1^{\alpha_{i 1}}z_2^{\alpha_{i_2}} \ldots z_n^{\alpha_{in}}, \quad i=1, \ldots, n,$$где $\alpha_{i j}$ – целые и $\operatorname{det}\left\|\alpha_{i j}\right\|= \pm 1$, нормальная форма (2) переводится в систему вида

$$\dot{z}_i=z_i f_i\left(z_1, \ldots, z_k\right), \quad i=1, \ldots, n$$(см. Брюно. 1971, Брюно. 1979). Решение этой системы сводится к решению подсистемы из первых $k$ уравнений и к $n-k$ квадратурам. Подсистему надо исследовать в окрестности сложной особой точки $z_1=\ldots=z_k=0$, ибо $f_1, \ldots, f_k$ не содержат линейных членов. Это можно сделать с помощью локального метода (cм. Брюно. 1979).

Рассматривался вопрос (см. Брюно. 1971): при каких условиях на нормальной форме (2) сходится (аналитично) нормализующее преобразование аналитической системы (1)? Пусть

$$\omega_k=\min |(Q, \Lambda)|$$по таким $Q \in N$, для которых

$$(Q, \Lambda) \neq 0,\quad q_1+\ldots+q_n<2^k.$$Условие $\omega: \sum_{k=1}^{\infty} 2^{-k} \ln \omega_k^{-1}<\infty$.

Условие $\bar{\omega}: \overline{\lim}\, 2^{-k} \ln \omega_k^{-1}<\infty$ при k \rightarrow \infty.

Условие $\bar{\omega}$ слабее условия $\omega$. Оба они выполнены для почти всех $\Lambda$ (по мере Лебега) и являются очень слабыми арифметическими ограничениями на $\Lambda$.

Условие А в случае $\operatorname{Re}\Lambda =0$ (общий случай см. в Брюно. 1971): существует такой степенной ряд $a(Y)$, что в (4) $\psi_i=\lambda_i y_i a$, $i=1, \ldots, n$.

Таким образом, поставленный выше вопрос решён для всех нормальных форм, кроме тех, у которых $\Lambda$ удовлетворяет условию $\omega$ и не удовлетворяет условию $\bar{\omega}$, а остальные коэффициенты нормальной формы удовлетворяют условию А. Условие А является очень жёстким ограничением на коэффициенты нормальной формы, и для больших $n$ оно выполнено, вообще говоря, только в вырожденных случаях. То есть основная причина расходимости преобразований к нормальной форме – это не малые знаменатели, а невырожденность нормальной формы.

Но и в случаях расходимости нормализующего преобразования (3) по нормальной форме (2) можно изучить свойства решений системы (1). Так, для вещественной системы (1) гладкое преобразование к нормальной форме (2) существует и в тех случаях, когда нет аналитического. Большинство результатов о гладкой нормализации получено при условии, что все $\operatorname{Re} \lambda_j \neq 0$. При этом условии с помощью замены $X \rightarrow V$ конечного класса гладкости систему (1) можно привести к укороченной нормальной форме

$$\dot{v}_i=\tilde{\psi}_i(V), \quad i=1, \ldots, n, \tag{6}$$где $\tilde{\psi}_i$ – многочлены степени $m$ (см. Хартман. 1970; Самовол. 1972; Белицкий. 1979). Если в нормализующем преобразовании (3) отбросить все члены степени выше $m$, то получится преобразование

$$x_i=\tilde{\xi}_i(U), \quad i=1, \ldots, n \tag{7}$$($\tilde{\xi}_i$ – многочлены), которое приводит (1) к виду

$$\dot{u}_i=\tilde{\psi}_i(U)+\tilde{\varphi}_i(U), \quad i=1, \ldots, n, \tag{8}$$где $\tilde{\psi}_i$ – многочлены, содержащие только резонансные члены, $\tilde{\varphi}_i$ – сходящиеся степенные ряды, содержащие только члены степени выше $m$. Решения укороченной нормальной формы (6) служат приближениями для решений системы (8) и после преобразования (7) дают приближения решений исходной системы (1). Во многих случаях для (6) удаётся построить такую функцию Ляпунова (или функцию Четаева) $f(V)$, что

$$|f(V)| \leqslant c_1 |V|^\gamma \quad\text{и}\quad \left| \sum_{j=1}^{n} \frac{\partial f}{\partial v_j} \tilde{\varphi}_j\right| > c_2 |V|^{\gamma+m},$$где $c_1$ и $c_2$ – положительные постоянные. Тогда $f(U)$ будет функцией Ляпунова (Четаева) для системы (8), т. е. точка $X=0$ будет устойчивой (неустойчивой). Например, если все $\operatorname{Re} \lambda_i<0$, то можно взять $m=1$, $f=\sum_{i=1}^n v_i^2$ и получится теорема Ляпунова об устойчивости по линейному приближению (см. Ляпунов. 1950; другие примеры см. в обзоре Куницын. 1979).

По нормальной форме (2) можно находить инвариантные аналитические множества системы (1). В дальнейшем для простоты изложения предполагается, что $\operatorname{Re} \Lambda=0$. По нормальной форме (2) выделяется формальное множество

$$\mathcal{A}=\left\{Y: \psi_i=\lambda_i y_i a, \,\,\, i=1, \ldots, n\right\},$$где $a$ – свободный параметр. На множестве $\mathcal{A}$ выполняется условие А. Пусть $K$ – объединение таких подпространств вида $\left\{Y: y_i=0, \,\, i=i_1, \ldots, i_l\right\}$, что соответствующие собственные значения $\lambda_j$, $i \neq i_1, \ldots, i_l$, $1 \leqslant j \leqslant n$, попарно соизмеримы. Формальное множество $\tilde{\mathcal{A}}=\mathcal{A} \cap K$ аналитично в системе (1). Из $\mathcal{A}$ выделяется подмножество $\mathscr{B}$, которое аналитично в системе (1), если выполнено условие $\omega$ (см. Брюно. 1979). На множествах $\tilde{\mathcal{A}}$ и $\mathscr{B}$ лежат периодические решения и семейства условно периодических решений системы (1). Рассматривая множества $\tilde{\mathcal{A}}$ и $\mathscr{B}$ в системах с малыми параметрами, можно изучить все аналитические возмущения и бифуркации таких решений (см. Bibikov. 1979).

Обобщения

Если систему (1) приводить не к нормальной форме (2), а к системе, правые части которой содержат некоторые нерезонансные члены, то упрощение получается менее значительным, зато можно улучшить качество преобразования. Так, приведение к «полунормальной форме» будет аналитическим при ослабленном условии А (см. Брюно. 1971). Другой вариант – преобразование, нормализующее систему (1) лишь на некоторых подмногообразиях (например, на некоторых координатных подпространствах; см. Брюно. 1971). Комбинации этих подходов позволяют доказать для системы (1) существование инвариантных подмногообразий и решений определённого вида (см. Bibikov. 1979).

Пусть система (1) определена и аналитична в окрестности инвариантного многообразия $M$ размерности $k+l$, которое расслаивается на $l$-мерные инвариантные торы. Тогда вблизи $M$ можно ввести такие локальные координаты

$$S=\left(s_1, \ldots, s_k\right), \quad Y=\left(y_1, \ldots, y_l\right), \quad Z=\left(z_1, \ldots, z_m\right), \quad k+l+m=n,$$что $Z=0$ на $M$, $y_j$ имеют период $2 \pi$, $S$ пробегает некоторую область $H$, и система (1) принимает вид

$$\begin{aligned} \dot{S}&=\Phi^{(1)}(S, Y, Z), \\ \dot{Y}&=\Omega(S, Y)+\Phi^{(2)}(S, Y, Z), \\ \dot{Z}&=A(S, Y) Z+\Phi^{(3)}(S, Y, Z), \end{aligned}$$где $\Phi^{(j)}=O(|Z|)$, $j=1,2$, $\Phi^{(3)}= O\left(|Z|^2\right)$, $A$ – матрица. Если $\Omega= \operatorname{const}$ и матрица $A$ треугольна с постоянной главной диагональю $\Lambda=\left(\lambda_1, \ldots, \lambda_n\right)$, то (при слабом ограничении на малые знаменатели) существует формальное преобразование локальных координат $S, Y, Z \rightarrow U, V, W$, которое приводит систему (9) к нормальной форме

$$\left. \begin{aligned} \dot{U}&=\sum \psi_{P Q}^{(1)}(U) W^Q \exp i(P, V), \\ \dot{V}&=\sum \psi_{P Q}^{(2)}(U) W^Q \exp i(P, V), \\ \dot{w}_j&=w_j \sum g_{j P Q}(U) W^Q \exp (P, V),\quad j=1, \ldots, m, \end{aligned} \right\} \tag{10}$$где $P \in \mathbb{Z}^l$, $Q \in \mathbb{N}^m$, $U \in H$ и $i(P, \Omega)+(Q, \Lambda)=0$.

Если среди координат $Z$ есть малый параметр, то систему (9) можно осреднить методом усреднения Крылова – Боголюбова (см. Боголюбов. 1974), и осреднённая система будет нормальной формой. Вообще, теорию возмущений можно рассматривать как частный случай теории нормальных форм, когда одна из координат является малым параметром (см. Брюно. 1979).

На системы (9) и (10) переносятся теоремы о сходимости нормализующей замены, теоремы о существовании аналитических инвариантных множеств и т. д. Здесь наиболее изучен случай, когда $M$ – периодическое решение, т. е. $k=0$, $l=1$. В этом случае теория нормальных форм во многом идентична случаю, когда $M$ – неподвижная точка. А. Пуанкаре предложил рассматривать точечное преобразование нормального сечения за период. В связи с этим возникла теория нормальных форм точечных отображений, которая параллельна соответствующей теории для систем (1). Другие обобщения нормальной формы см. в работах: Брюно 1979; Белицкий. 1979; Zehnder. 1978).