Фу́нкция Ляпуно́ва, функция, определяемая следующим образом. Пусть $x_{0}$ – неподвижная точка системы дифференциальных уравнений

$$\dot{x}=f(x, t)$$(т. е. $f(x_{0},t)\equiv0$), где отображение $f(x,t):U\times\mathbb{R}_+\rightarrow\mathbb{R}^n$ непрерывно и непрерывно дифференцируемо по $x$ (здесь $U$ – некоторая окрестность точки $x_{0}$ в $\mathbb{R}^{n}$); в координатах эта система записывается в виде

$$\dot{x}^{i}=f^{i}\left(x^{1},\ldots,x^{n},t\right),\quad i=1,\ldots,n.$$Функцией Ляпунова называется дифференцируемая функция $V(x):U\rightarrow\mathbb{R}$, обладающая свойствами:

1) $V(x)>0$ при $x \neq x_{0}$;

2) $V\left(x_{0}\right)=0$;

3) $\displaystyle 0 \geqslant \frac{d V(x)}{d x} f(x,t) =\sum_{i=1}^{n} \frac{\partial \mathrm{V}\left(x^{1}, \ldots, x^{n}\right)}{\partial x^{i}} f^{i}\left(x^{1}, \ldots, x^{n}, t\right).$

Функция $V(x)$ введена в 1892 г. А. М. Ляпуновым (1956). Имеет место лемма Ляпунова: если функция Ляпунова существует, то неподвижная точка устойчива по Ляпунову. На этой лемме основан один из методов исследования устойчивости (т. н. второй метод Ляпунова).