Мно́жество Вита́ли, элементарный пример подмножества вещественной прямой, неизмеримого по Лебегу. Ограниченное множество $V\subset\mathbb{R}$ называется множеством Витали, если оно имеет в точности один общий элемент с каждым классом эквивалентности относительно отношения эквивалентности на множестве $\mathbb{R}$, заданного правилом: $x\sim y$, если разность $x-y$ является рациональным числом. Данное условие равносильно следующему: для каждого $x\in\mathbb{R}$ найдётся в точности один элемент $v\in V$, такой, что разность $x-v$ является рациональным числом (отсюда также следует, что разность любых двух различных элементов множества Витали – иррациональное число). Существование множества Витали $V$ в любом заданном отрезке $[a,b]\subset\mathbb{R}$, $a<b$, вытекает из аксиомы выбора: оно получается выбором из каждого класса эквивалентности (который является всюду плотным в $\mathbb{R}$ множеством) по одному элементу, принадлежащему отрезку $[a,b]$.

Пусть $V\subset [0,1]$ – множество Витали, а $D$ означает множество всех рациональных чисел, принадлежащих отрезку $[-1,1]$; для каждого $r\in D$ пусть $V_r=V+r=\{v+r:v\in V\}$; из свойств множества Витали легко следует, что семейство $\{V_r\}_{r\in D}$ состоит из попарно непересекающихся множеств и, кроме того, имеют место включения $\displaystyle [0,1]\subset \bigcup_{r\in D}V_r\subset [-1,2].$Пусть $\mu$ обозначает меру Лебега на прямой. Если $V$ измеримо, то из предыдущих включений, с учётом счётности множества $D$, следует, что $\displaystyle 1\leqslant\sum_{r\in D}\mu(V_r)\leqslant3,$причём, в силу инвариантности меры Лебега относительно сдвигов, $\mu(V_r)=\mu(V)$ для всех $r\in D$; отсюда легко выводится противоречие. Небольшая модификация приведённого рассуждения позволяет также доказать, что не только отрезок $[0,1]$, но и вообще любое подмножество прямой, имеющее положительную меру Лебега, содержит неизмеримое подмножество. Кроме того, построение множества Витали по существу доказывает следующее фундаментальное утверждение: не существует нетривиальной (т. е. не равной тождественно нулю) $\sigma$-аддитивной меры, определённой на всех ограниченных подмножествах вещественной прямой и инвариантной относительно сдвигов.

Всего существует $2^{\mathfrak c}$ различных множеств Витали (здесь $\mathfrak{c}$ обозначает мощность континуума).

Множество Витали названо в честь построившего его Дж. Витали (Vitali. 1905), который тем самым впервые доказал существование неизмеримых по Лебегу множеств. Существование таких множеств зависимо от аксиомы выбора: Р. Соловей (Solovay. 1970) построил, в предположении существования недостижимого кардинала, модель теории множеств (без аксиомы выбора), в которой все подмножества вещественной прямой измеримы по Лебегу.

Множество Витали. Видеолекция Алексея Зубова. 2023.Множество Витали. Видеолекция Алексея Зубова. 2023.

Архив БРЭАрхив БРЭ