Многоме́рная зада́ча Плато́, термин, обозначающий серию задач, связанных с изучением экстремалей и глобальных минимумов функционала $k$-мерного объёма $\operatorname{vol}_k$, определённого на $k$-мерных обобщённых поверхностях, вложенных в $n$-мерное риманово пространство $M^n$ и удовлетворяющих тем или иным граничным условиям.

В истории развития у заданной вариационной задачи (см. Задача Плато) выделяются несколько периодов, характеризующихся различными подходами к понятиям «поверхности», «границы», «минимизации» и, соответственно, методами получения минимального решения. Многомерная задача Плато формулируется так. Пусть $A^{k-1} \subset M^n$ – фиксированное замкнутое гладкое $(k-1)$-мерное подмногообразие в римановом пространстве $M$ и пусть $X(A)$ – класс всех таких плёнок (поверхностей) $X \subset M^n$, имеющих границей многообразие $A$, причём каждая плёнка $X \in X(A)$ допускает непрерывную параметризацию (представима в виде образа некоторого многообразия с краем), т. e. $X=f(W)$, где $W$ – некоторое $k$-мерное многообразие с краем $\partial W$, гомеоморфным $A$, a $f: W \rightarrow M^n$ – непрерывное отображение, совпадающее с фиксированным гомеоморфизмом на крае $\partial W$, то есть $f: \partial W \underset{\rightarrow}{ \cong} A$. Вопрос: можно ли найти в классе $X(A)$ плёнку ${X}_0$, которая была бы в каком-либо разумном смысле минимальной, например чтобы её $k$-мерный объём был наименьшим по сравнению с $k$-мерными объёмами других плёнок $X$ из этого же класса? Оказалось, что перенесение классических «двумерных» методов на многомерный случай наталкивается на серьёзные трудности. Это привело к тому, что классическая постановка многомерной задачи Плато была на время оставлена и задача была сформулирована в иных (гомологических) терминах. Если отбросить понятие многообразия-плёнки с краем $\partial W=A$ и сильно расширить понятие плёнки и её границы, ослабив связь плёнки с её границей (в частности, если рассматривать непараметризованные плёнки), отбросив условие $X=f(W)$, то многомерная задача Плато может быть сформулирована на языке обычных целочисленных гомологий $H_*$ : найти минимальную плёнку $X_0$, аннулирующую фундаментальный цикл $[A] \in H_{k-1}(A)$ многообразия $A$ (в предположении, что $A$ ориентируемо), т. е. $i_*[A]=0$, $i_*: H_{k-1}(A) \rightarrow H_{k-1}(X)$, где $i_*$ – гомоморфизм, индуцированный вложением $i: A \rightarrow X$. Для решения многомерной задачи Плато в этой новой расширенной постановке был разработан (см. Моrrеу. 1966; Reifenberg. 1960) геометрический подход, при котором минимизировался функционал $k$-мерной хаусдорфовой меры (объёма), определённый на $k$-мерных измеримых компактах (поверхностях) в $M^n$, и развита (см. Federer. 1969; Almgren. 1968) теория интегральных потоков и варифолдов, носителями которых являются $k$-спрямляемые подмножества в $M^n$. Однако указанное расширение понятия границы плёнки в терминах гомологий $H_*$ [т. е. $(k-1)$-мерное многообразие $A$ считается границей $k$-мерной плёнки $W$, если при вложении $A \rightarrow W$ фундаментальный цикл $[A]$ аннулируется] означает отход классической постановки многомерной задачи Плато, так как, располагая теоремой существования минимального решения в гомологическом классе $X(A)$, по-прежнему ничего нельзя сказать о существовании минимального решения в классе всех плёнок, являющихся непрерывными образами многообразий с краем, т. е. допускающих параметризацию. Дело в том, что если многообразие $A$ гомологично нулю (как цикл) в плёнке $X_0$, то $X_0$ не обязательно допускает представление в виде $X_0=f\left(W_0\right)$, где $W_0$ – некоторое $k$-мерное многообразие с краем.

В классической постановке, т. е. в терминах плёнок вида $X=f(W),$ где $W$ суть $k$-мерные многообразия с краем $A$, многомерная задача Плато была решена (см. Фоменко. 1972). При этом было замечено, что классическая многомерная задача Плато допускает эквивалентную формулировку на языке бордизмов. Пусть $V$ есть $(k-1)$-мерное компактное ориентированное замкнутое многообразие, $f: V \rightarrow M^n$ – непрерывное отображение; пара $(V, f)$ называется сингулярным бордизмом $M^n$. Два бордизма $\left(V_1, f_1\right)$ и $\left(V_2, f_2\right)$ называются эквивалентными, если существует $k$-мерное ориентированное многообразие $W$ c краем $\partial W=V_1 \cup\left(-V_2\right)$ (где $-V_2$ означает $V_2$ с обратной ориентацией) и непрерывное отображение $F: W \rightarrow M^n$ такое, что $\left.F\right|_{V_1} =f_1$, $\left.F\right|_{V_2}=f_2$. Бордизм $(V, f)$ эквивалентен нулю, если $V=\partial W=V_1$, $V_2=\phi$. Классы эквивалентности сингулярных бордизмов образуют абелевы группы, которые после выполнения процесса стабилизации образуют одну из обобщённых теорий гомологий (теорию бордизмов). Многомерная задача Плато формулируется (на этом языке) так: а) можно ли среди всех плёнок $X \subset M$, $A \subset X$ и обладающих тем свойством, что сингулярный бордизм $(A, i)$ (где $i: A \rightarrow X$ – вложение) эквивалентен нулю в $X$, найти $X_0$ с наименьшим объёмом $\operatorname{vol}_k X_0$?

б) Можно ли среди всех сингулярных бордизмов $(V, g)$ (где $g: V \rightarrow M^n$), эквивалентных данному бордизму $\left(V^{\prime}, g^{\prime}\right)$, найти такой бордизм $\left(V_0, g_0\right)$, чтобы объём плёнки $g_0\left(X_0\right) \subset M^n$ был бы наименьшим? Положительный ответ на эти вопросы см. в (Фоменко. 1972; 1974; 1978).

Классическая многомерная задача Плато значительно отличается от её гомологического варианта. На рис. 1 показаны контур $A=S^{\mathbf{1}}$ и плёнка $X$, стремящаяся занять в $\mathbb{R}^3$ положение, соответствующее наименьшей площади. Рис. 1. Склейка и схлопывание плёнки.Рис. 1. Склейка и схлопывание плёнки.В некоторый момент наступит склейка, схлопывание плёнки, в результате чего вместо двумерной трубки $T$ появится одномерный отрезок $P$. В двумерном случае отрезок $P$ может быть непрерывно отображён в двумерный диск, заклеивающий $A$. В многомерном случае описанный эффект появления у минимальной плёнки зон меньших размерностей присутствует ещё в большей степени, причём если в двумерном случае все такие куски $P$, $\operatorname{dim} P \leqslant k-1$, можно было отобразить без потери параметризующих свойств плёнки $X_0$ в $k$-мерную (двумерную) часть этой плёнки, то при $k>2$ эти зоны меньшей размерности, в общем случае, неустранимы [если мы хотим сохранить топологическое свойство плёнки $X_0$, аннулирующей бордизм $(A, i)$]. В силу тех же причин зоны меньшей размерности не могут быть отброшены, т. к. $k$-мерная часть $X^{(k)}$ плёнки $X$ может вообще не допускать непрерывной параметризации и тем самым, вообще говоря, не аннулирует бордизм $(A, i)$. Это показывает необходимость введения стратифицированного объёма плёнки $X$, составленного из объёмов всех её зон $X^{(i)}$, т. е. $(\operatorname{vol}_k X^{(k)}, \operatorname{vol}_{k-1} X^{(k-1)}, \ldots)$. Теорема, являющаяся решением многомерной задачи Плато, формулируется так (см. Фоменко. 1972): существует глобально минимальная поверхность, минимизирующая стратифицированный объём.

Следствие: для любого фиксированного $(k-1)$-мерного ориентированного гладкого замкнутого подмногообразия $A$ в римановом пространстве $M^n$ [в том случае, когда $X(A) \neq \phi$] существует глобально минимальная поверхность $X_0=f_0\left(W_0\right)$, аннулирующая бордизм $(A, i)$ [в частности, $k$-мерный объём плёнки $X_0$ не больше $k$-мерного объёма любой плёнки вида $X=f(W)$] (см. Фоменко. 1972; 1974; 1978). Более того, плёнка $X_0$ минимальна в каждой своей размерности $s \leqslant k$; если $X^{(s)}$ – часть плёнки $X$, имеющая размерность $s$, то $X^{(s)}$ содержит подмножество $Z^{(s)}$, $s$-мерный объём которого равен нулю, a дополнение $X^{(s)}\backslash Z^{(s)}$ является открытым $s$-мерным всюду плотным в $X^{(s)}$ аналитическим подмногообразием в $M^n$. Здесь $Z^{(s)}$ – множество сингулярных точек в размерности $s$.

Этот результат является частным случаем общей теоремы существования и почти всюду регулярности глобально минимальной поверхности, доказанной (см. Фоменко. Минимальные компакты...1972; Многомерная задача ...1972; 1974; 1978) для любой обобщённой теории (ко)гомологий и для любого набора краевых условий. Кроме того, такая поверхность существует и в каждом стабильном гомотопическом классе. Вот пример вариационной задачи, сформулированной и получившей решение в когомологических терминах. Пусть $\xi$ – стабильно нетривиальное векторное расслоение на компактном римановом пространстве $M^n$; пусть $X(\xi)$ – класс всех таких поверхностей $X \subset M^n$, что ограничение $\left.\xi\right|_X$ расслоения $\xi$ на $X$ стабильно нетривиально (т. е. $X$ – носитель $\xi$). Тогда всегда существует глобально минимальная поверхность $X_0 \in X(\xi)$, имеющая наименьший объём в классе $X(\xi)$. Общая теорема существования может быть сформулирована и доказана также и на языке интегральных потоков, для чего следует ввести фильтрованные потоки, состоящие из потоков различных размерностей. На этом пути было затем получено решение многомерной задачи Плато в классах гомотопий (Дао Чонг Тхи. 1978).

В сфере задач, окружающих многомерную задачу Плато, выделяются исследования конкретных аналитических и топологических свойств глобально минимальных поверхностей. Например, актуальна задача предъявления конкретных поверхностей в римановых пространствах. Так, например, известно (см. Federer. 1969), что комплексные алгебраические подмногообразия в $\mathbb{C}^n$ и $\mathbb{C} P^n$ – глобально минимальные поверхности. Этот результат носит ярко выраженный комплексный характер. В случае вещественных подмногообразий долгое время отсутствовали какие-либо методики обнаружения конкретных глобально минимальных поверхностей. Первым результатом (см. Фоменко. 1972) в этом направлении, учитывающим их топологию, была методика, применение которой позволило доказать, что каждому компактному риманову пространству $M^{{n}}$ можно сопоставить универсальную функцию $\Omega_x(k)$, где $x \in M^n$, $k$ – целое число, $1 \leqslant k \leqslant n$. Если $X_0$ – глобально минимальная поверхность, реализующая нетривиальный (ко)цикл в $H_k\left(M^n\right)$, то $\operatorname{vol}_k X_0 \geqslant \Omega_x(k)$ для любой точки $x \in X_0$. Если $M=G / H$ – однородное пространство, то $\Omega_x(k) \equiv \Omega(k)$ не зависит от точки $x$. Функция $\Omega_x(k)$ вычисляется в явном виде и даёт общую оценку снизу на объёмы всех $k$-мерных (ко)циклов в $M^n$. Оценка эта в общем случае неулучшаема, т. е. существуют бесконечные серии глобально минимальных $X_0$, для которых $\operatorname{vol}_k X_0=\Omega(k)$. Для симметричных пространств получено (см. Фоменко. 1972; 1981) полное описание всех таких поверхностей, для которых $\operatorname{vol}_k X_0=\Omega(k)$. Разработаны (см. Фоменко. 1971; Дао Чонг Тхи. 1980; Фоменко. 1981) дальнейшие методики получения конкретных глобально минимальных поверхностей. В различных задачах вариационного исчисления, топологии, алгебраической геометрии, комплексного анализа возникает следующая ситуация: а) дано многообразие $M^n$ и его «исчерпание» $n$-мерными областями $D_r$, расширяющимися с ростом параметра $r$; б) в $M^n$ фиксирована глобально минимальная поверхность $X^k$; в) ставится вопрос: с какой скоростью растёт $\operatorname{vol}_k\left(X^k \cap D_r\right)$, рассматриваемый как функция от $r$? K этому вопросу сводятся, например, задачи о вычислении $\Omega_x(k)$, задачи о структуре базисов в пространствах целых функций, теоремы типа Штолля (см. Фоменко. 1971) и т. д. Оказывается (см. Фоменко. 1972; 1981), существует универсальная точная эффективно вычислимая оценка снизу на скорость роста $\operatorname{vol}_k\left(X^k \cap D_r\right)$, из которой, как частные случаи, получаются явные формулы для $\operatorname{vol}_k {X}^k$, где $X^k$ – глобально минимальная поверхность. Например, объём такой поверхности, заключённой в шаре $B^n \subset \mathbb{R}^n$ и проходящей через центр шара (и имеющей границу на границе шара), всегда не меньше стандартного $k$-мерного шара $B^k$ (плоского сечения), проходящего через центр $B^n$ (см. Фоменко. 1974; 1978; 1981).

B особое направление выделилась многомерная задача Плато «коразмерности один»: рассматриваются глобально минимальные поверхности коразмерности 1 в $\mathbb{R}^n$. Тaк, например, решена (см. Вombieri. 1969) проблема Бернштейна: пусть $V^{n-1}$ – гладкое полное локально минимальное подмногообразие в $\mathbb{R}^n$, допускающее взаимно однозначную проекцию на некоторую гиперплоскость, т. е. $V^{n-1}$ задаётся графиком функции $f$, определённой на $\mathbb{R}^{n-1}$; верно ли, что $f$ – линейная функция? При $3 \leqslant n \leqslant 8$ ответ положителен (см. Simons. 1968). Минимальность таких гиперповерхностей тесно связана с минимальностью конусов в $\mathbb{R}^n$: из существования локально минимальной поверхности следует существование минимального конуса $C M^{n-2}$, т. е. поверхности, составленной из точек радиусов, идущих из точки $O \in \mathbb{R}^n$ в точки $x \in M^{n-2}$, где $M^{n-2}$ – локально минимальная поверхность в сфере $S^{n-1}$. Установлено (см. Simons. 1968), что если $M^{n-2}$ – замкнутое локально минимальное подмногообразие (т. е. обращающее в нуль оператор Эйлера) в $S^{n-1}$, не являющееся экватором $S^{n-2} \subset S^{n-1}$, то при $n \leqslant 7$ конус $C M^{n-2}$ (с основанием $M^{n-2}$ и вершиной в центре сферы) не минимизирует $(n-1)$-мерный объём $\operatorname{vol}_{n-1}$ (при фиксированной границе $M^{n-2}$), т. е. существует вариация (носитель которой сосредоточен около центра сферы), уменьшающая объём конуса. Отсюда и выводится линейность функции $f$ при $n \leqslant 8$. При $n \leqslant 9$ ответ на вопрос отрицателен: существуют (см. Вombieri. 1969) локально (и даже глобально) минимальные поверхности $V^{n-1} \subset \mathbb{R}^n$, задаваемые как графики нелинейных функций. Построение осуществляется явно; при этом обнаружилось, что конусы, задаваемые в $\mathbb{R}^{2 m}$ уравнением

$$x_1^2+\ldots+x_m^2 = x_{m+1}^2+\ldots+x_{2 m}^2, \tag{*}$$являются глобально минимальными поверхностями при фиксированной границе $V=S^{m-1} \times S^{m-1}$, $m \geqslant 4$. Эти конусы – частный случай конусов более общего вида, являющихся глобально минимальными поверхностями (см. Lawson. 1973).

Развивается новое направление в многомерной задаче Плато – т. н. эквивариантные многомерные задачи Плато. Среди глобально минимальных поверхностей естественно выделен класс плёнок, переходящих в себя при действии некоторой группы симметрий (см. Lawson. 1972; 1973). Пусть $G$ – компактная связная группа Ли, гладко действующая на $M^n$ изометриями и расслаивающая его на орбиты $G(x)$, $x \in M^n$. Тогда для нахождения глобально минимальных поверхностей $X^k$ в $M^n$, инвариантных относительно $G$, достаточно перейти к факторпространству $P=M^n / G$ и снабдить $P$ римановой метрикой вида

$$d l_p=v^{1 / p} d \tilde{s},$$где $v=\operatorname{vol} G(x)$, а

$$p=\operatorname{dim} X^k-\operatorname{dim} G(x)= k- \operatorname{dim} G(x)$$(здесь через $\operatorname{dim} G(x)$ обозначена размерность орбиты общего положения в $M^n$), $d \tilde{s}$ – естественная метрика-проекция, возникающая на $P$ при изометрическом действии $G$. Для нахождения глобально минимальных поверхностей в $M^n$, инвариантных относительно $G$,

Рис. 2. Конусы Саймонса.Рис. 2. Конусы Саймонса.достаточно описать таковые в ${M}^n / G$, снабжённом метрикой $d l_p$ (см. Lawson. 1972), так что получается редукция многомерной задачи Плато на $M^n$ к многомерной задаче Плато на $M^{n} /G$ меньшей размерности. Эта методика позволила получить серии конкретных глобально минимальных поверхностей, обладающих большими группами симметрии (см. Фоменко. 1974; 1978). В частности, «конусы Саймонса», задаваемые уравнением (*), изображаются отрезком $OD$ (см. рис. 2) на двумерном факторе

$$\mathbb{R}^{2 m} / S O_m \times S O_m=(x \geqslant 0, y \geqslant 0),$$снабжённом метрикой

$$(x y)^{2(2 m-2)}\left(d x^2+d y^2\right)$$и являющемся первым квадрантом $K$ на плоскости $\mathbb{R}^2$ (см. Фоменко. 1974; 1978). Для нахождения глобально минимальной поверхности с границей

$$S^{m-1} \times S^{m-1}=G(D),\quad G=S O_m \times S O_m$$достаточно найти геодезические, идущие из $D$ на границу $K$ и имеющие наименьшую длину. На рис. 2 показан пучок геодезических, исходящих из точки $D$; этот пучок можно понимать как пучок световых лучей, распространяющихся из источника $D$ в прозрачной среде, заполняющей $K$ с показателем преломления $(x y)^{2 m-2}$. При $m<\frac{5}{2}+\sqrt{2}$ наряду с поверхностью $O D$ существует ещё одно минимальное решение меньшей длины, изображаемое геодезической $O Q$; это означает, что конус Саймонса – не глобально минимальная поверхность. С ростом $m$ точка $Q$ стремится к $O$, и при $m>\frac{5}{2}+\sqrt{2}$ существует единственная геодезическая, соединяющая $D$ с границей квадранта, т. е. конус Саймонса – глобально минимальная поверхность (см. Фоменко. 1974; 1978).