Многочле́н наилу́чшего приближе́ния (полином наилучшего приближения), многочлен, осуществляющий наилучшее приближение функции $x(t)$ в той или иной метрике среди всех многочленов, построенных по той же (конечной) системе функций. Если $X$ – линейное нормированное пространство функций (например, $C[a, b]$ или $L_p(a, b)$, $p \geqslant 1$),

$$U_n=\left\{u_1(t), \ldots, u_n(t)\right\}$$– система линейно независимых функций из $X$, то для любой $x \in X$ (обобщённый) многочлен наилучшего приближения
$$\tag{*} \tilde{u}(t)=\tilde{u}(x, t)=\sum_{k=1}^n \tilde{c}_k u_k(t),$$определяемый соотношением

$$\|x-\tilde{u}\|=\min _{\left\{c_k\right\}}\left\|x-\sum_{k=1}^n c_k u_k\right\|,$$существует. Единственность многочлена наилучшего приближения для всех $x \in X$ имеет место во всяком случае, если $X$ – пространство со строго выпуклой нормой (т. е. из $\|x\|=\|y\|$ и $x \neq y$ следует, что $\|x+y\|<\|x\|+\|y\|$). Таким является пространство $L_p(a, b)$ при $1<p<\infty$. В пространстве $C[a, b]$, норма которого не является строго выпуклой, многочлен наилучшего приближения для любой $x \in C[a, b$] единствен, если система $U_n$ является чебышёвской на $[a, b]$, т. е. каждый многочлен

$$u(t)=\sum_{k=1}^n c_{k} u_k(t) \neq 0$$имеет на отрезке $[a, b]$ не более чем $n-1$ нулей. В частности, единственность имеет место для алгебраических многочленов в $C[a, b]$, а также для тригонометрических полиномов в пространстве $C_{2 \pi}$ непрерывных на всей оси $2 \pi$ периодических функций с равномерной метрикой. Если многочлен наилучшего приближения существует и единствен для любой $x \in X$, то он непрерывно зависит от $x$.

Известны критерии, указывающие необходимые и достаточные признаки многочлена наилучшего приближения в пространствах $C$ и $L_p$. Справедлива, например, теорема Чебышёва: если система $U_n$ является чебышёвской, то для того, чтобы многочлен $(*)$ являлся для функции $x \in C[a, b]$ многочленом наилучшего приближения в метрике пространства $C[a, b]$, необходимо и достаточно, чтобы нашлась система из $n+1$ точек $t_i V_i: a \leqslant t_1<t_2<\ldots<t_{n+1} \leqslant b$, в которых разность

$$\Delta(t)=x(t)-\tilde{u}(t)$$принимает значения

$$\pm \max _{a \leqslant t \leqslant b}|\Delta(t)|,$$причём

$$\Delta\left(t_{i+1}\right)=-\Delta\left(t_i\right), \quad i=1,2, \ldots, n .$$Многочлен $(*)$ является многочленом наилучшего приближения для функции $x(t) \in L_p[a, b]$, $p>1$, в метрике этого пространства тогда и только тогда, когда

$$\int_a^b u_k(t)|x(t)-\tilde{u}(t)|^{p-1} \operatorname{sign}[x(t)-\tilde{u}(t)] d t=0,$$
$k=1,2, \ldots, n$. В случае $p=1$, т. е. в пространстве $L_1[a, b]$, условия

$$\int_a^b u_k(t) \operatorname{sign}[x(t)-\tilde{u}(t)] d t=0,\quad k=1,2, \ldots, n,$$достаточны, а если мера множества тех точек $t$ из $(a, b)$, где $x(t)=\tilde{u}(t)$, равна нулю, то и необходимы, чтобы $\tilde{u}(t)$ был многочленом наилучшего приближения для $x \in L_1[a, b]$ (см. также в статье Критерий Маркова).

Существуют алгоритмы приближённого построения многочленов наилучшего равномерного приближения (Дзядык. 1977; Лоран. 1975).