Ме́тод Зе́йделя (метод Зейделя – Гаусса), итерационный метод решения системы линейных алгебраических уравнений $Ax=b$. Решение системы $x^*$ находится как предел последовательности

$$x^{(k)}=\left(x_1^{(k)}, x_2^{(k)}, \ldots, x_n^{(k)}\right),$$вычисляемой по правилу

$$\begin{gathered} x_i^{(k)}=-\sum_{j=1}^{i-1} \frac{a_{i j}}{a_{i i}} x_j^{(k)}-\sum_{j=i+1}^n \frac{a_{i j}}{a_{i i}} x_j^{(k-1)} \div \frac{b_i}{a_{i i}},\\ i=1,\,2, \ldots,\, n, \end{gathered} \tag{$*$}$$где $a_{i j}$ – элементы матрицы $A$, $b_i$ – компоненты вектора $b$; диагональные элементы матрицы $A$ предполагаются отличными от нуля. Вычисления $(*)$ отличаются от метода простой итерации лишь тем, что на $k$-м шаге при вычислении $i$-й компоненты учитываются вычисленные $k$-е приближения первых $(i-1)$ компонент. В матричной записи метод Зейделя представляется следующим образом. Если $A=B+C$, где

$$B=\left\|\begin{array}{llll}a_{11} & 0 & \ldots & 0 \\ a_{21} & a_{22} & \ldots & 0 \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \ldots & a_{n n}\end{array}\right\|, \quad C=\left\|\begin{array}{ccccc}0 & a_{12} & a_{13} & \ldots & a_{1 n} \\ 0 & 0 & a_{23} & \ldots & a_{2 n} \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ 0 & 0 & 0 & \ldots & 0\end{array}\right\|,$$то соотношение $(*)$ соответствует матричному соотношению $x^{(k)}=-B^{-1} C x^{(k-1)}+B^{-1} b$. Метод Зейделя равносилен методу простой итерации, применённому к системе $x=-B^{-1} C x+B^{-1} b$, эквивалентной исходной. Для сходимости метода Зейделя необходимо и достаточно, чтобы все собственные значения матрицы $B^{-1}C$ по модулю были меньше $1$. Иначе, чтобы все корни уравнения $\operatorname{det}(C+B \lambda)=0$ были по модулю меньше $1$.

На практике более удобны следующие достаточные условия сходимости метода Зейделя. 1) Пусть при всех $i$, $1 \leqslant i<n$, $\sum_{i \neq j}\left|a_{i j}\right| \leqslant q\left|a_{i i}\right|$, $q<1$. Тогда метод Зейделя сходится и для скорости сходимости имеет место оценка:

$$\left\|x^{( k)}-x^*\right\|_1 \leqslant q\left\|x^{(k-1)}-x^*\right\|, \quad\|x\|_1=\max _{1 \leqslant i \leqslant n}\left|x_i\right| .$$2) Пусть $A$ – эрмитова положительно определённая матрица. Тогда метод Зейделя сходится.

Метод Зейделя относится к классу методов релаксации, наиболее употребительным из которых является метод сверхрелаксации.

Известны модификации метода Зейделя, использующие предварительное преобразование исходной системы в эквивалентную ей систему $x=M x+f$ (Фаддеев. 2002).

Метод предложен Ф. Зейделем (Seidel. 1873).