Ме́тод спу́ска, 1) в уравнениях математической физики – приём, позволяющий из формулы для решений заданного уравнения получить формулы для решений такого же уравнения с меньшим числом независимых переменных (Тихонов. 2013); 2) метод решения задачи минимизации$$f\left(x^{*}\right)=\min_{x} f(x),$$где $f$ – некоторая функция переменной $x=\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)$. Итерационная последовательность $\left\{x^{k}\right\}$ метода спуска вычисляется по формуле$$x^{k+1}=x^{k}+\alpha_{k} g^{k},$$где $g^{k}$ – вектор, указывающий некоторое направление убывания функции $f$ в точке $x^{k}$, a $\alpha_{k}$ – итерационный параметр, величина которого указывает длину шага в направлении $g^{k}$. Если функция $f$ дифференцируема и $x^{k}$ не является её точкой экстремума, то вектор $g^{k}$ должен удовлетворять неравенству$$\left(f^{\prime}\left(x^{k}\right), g^{k}\right)<0, \tag{*}$$где $f^{\prime}\left(x^{k}\right)$ – градиент функции $f$ в точке $x^{k}$.

Если $f$ – достаточно гладкая функция (например, дважды непрерывно дифференцируемая) и последовательность векторов $\left\{g^{k}\right\}$ удовлетворяет неравенству (*), то существует такая последовательность $\left\{\alpha_{k}\right\}$, что$$f\left(x^{0}\right)>f\left(x^{1}\right)>\ldots> f\left(x^{k}\right)>\ldots$$При определённых ограничениях (Пшеничный, Данилин. 1975) на функцию $f$ и способ выбора параметров $\left\{\alpha_{k}\right\}$ и векторов $g_{k}$ последовательность $\left\{x^{k}\right\}$ сходится к решению $x^{*}$ исходной задачи.

К методам спуска относятся градиентные методы, в которых векторы $\left\{g^{*}\right\}$ каким-либо образом выражаются через векторы $\left\{f^{\prime}\left(x^{k}\right)\right\}$. Одним из наиболее распространённых является случай, когда$$g^{k}=-B\left(x^{k}\right) f^{\prime}\left(x^{k}\right),$$где $B(x)$ – симметрическая матрица, удовлетворяющая для любых векторов $x$ и $y$ неравенству$$m(x, x) \leqslant(B(y) x, x) \leqslant M(x, x)$$с некоторыми константами $M \geqslant m>0$. При дополнительных предположениях (Пшеничный. 1975) относительно $f$ и специальном выборе $\left\{\alpha_{x}\right\}$ градиентный метод обеспечивает сходимость последовательности $\left\{x^{k}\right\}$ к решению $\left\{x^{*}\right\}$ исходной задачи со скоростью геометрической прогрессии со знаменателем $g<1$. Частным случаем градиентных методов является метод наискорейшего спуска, в котором матрица $B(x)$ выбирается единичной.