Ме́тод компле́ксного интегри́рования (метод контурного интегрирования), один из наиболее универсальных методов исследования и приложений дзета-функций, $L$-функций, вообще, функций, определяемых рядами Дирихле.

Метод комплексного интегрирования в теорию чисел впервые ввёл Б. Риман (Риман. 1948) в 1876 г. в связи с изучением свойств дзета-функции. Известные в настоящее время применения метода комплексного интегрирования, опирающиеся на теорему Коши о вычетах, теорему Фрагмена – Линделёфа для рядов Дирихле, метод перевала и т. п., весьма разнообразны по своей форме и содержанию. Метод комплексного интегрирования используется для аналитического продолжения и вывода функциональных уравнений функций Дирихле; для вывода приближённых функциональных уравнений этих функций; для оценок числа их нетривиальных нулей и оценок плотности распределения таких нулей в той или иной части критической полосы; для получения асимптотических формул и разного рода оценок важнейших арифметических функций.

Классический вариант метода комплексного интегрирования иллюстрируется нижеследующим примером аналитического продолжения и вывода функционального уравнения дзета-функции Римана (Титчмарш. 1953; Прахар. 1967). При $s=\sigma+i t$, $\sigma>0$, $n>0$

$$n^{-s} \Gamma(s)=n^{-s} \int_0^{\infty} e^{-x} x^{s-1}\, d x = \int_0^{\infty} e^{-n {x}} x^{s-1}\, d x.$$После суммирования получается, что функция $\zeta(s)$, первоначально определённая рядом $\zeta(s)=\sum_{n=1}^{\infty} n^{-s}$, при $\sigma>1$, представляется также формулой

$$\zeta(s)=\frac{1}{\Gamma(s)} \int_0^{\infty} \frac{x^{s-1}}{e^x-1}\,d x. \tag{1}$$Пусть рассматривается интеграл

$$J(s)=\frac{1}{2 \pi i} \int_C \frac{z^{s-1}}{e^{-z}-1} \,d z,$$взятый вдоль (бесконечного) контура $C=\alpha+\beta+\gamma$, где $\alpha, \gamma$ проходят по нижнему и верхнему краям разреза вдоль отрицательной действительной оси плоскости $z$, обходя начало координат по окружности $\beta$ радиуса $r<2 \pi$. Интеграл $J(s)$ сходится при всех $s$ и притом равномерно в любом круге $|s|<\Delta$, ибо на $\alpha$ и $\gamma$ подынтегральная функция меньше $e^{-0,5|z|}$ для всех $|x|> z_0(\Delta)$. По теореме Коши он не зависит от $r$ и, значит, представляет целую функцию $s$. Полагая, что на $\alpha, \beta, \gamma$ соответственно $z=\delta e^{-i \pi}$, $z=r e^{i \theta}$, $z=\delta e^{i \pi}$ и $f(z)=1 /\left(e^z-1\right)$, легко расписать $J(s)$ в виде интегралов по действительным переменным:

$$\pi J(s)=\sin \pi s \int_r^{\infty} \delta^{s-1} f(-\delta)\, d \delta + \frac{r^s}{2} \int_{-\pi}^\pi e^{i \theta s} f\left(r e^{i \theta}\right)\, d \theta.$$В круге $|z|<\pi$ будет $|z f(z)|<A$. Поэтому второе слагаемое правой части этого равенства меньше, чем $2 \pi A r^{\sigma-1} e^{\pi|t|}$, что для любого фиксированного $s$ c $\sigma>1$ стремится к нулю при $r \rightarrow 0$. Следовательно, в силу формулы (1), $\pi J(s)=\sin \pi s \Gamma(s) \zeta(s)$ и

$$\zeta(s)=\frac{\pi J(s)}{\sin \pi s \Gamma(s)} \Gamma=(1-s) J(s). \tag{2}$$Эта формула, доказанная в предположении $\sigma>1$, даёт продолжение функции $\zeta(s)$ на всю плоскость. Из неё видно, что $\zeta(s)$ является однозначной аналитической функцией во всей плоскости $s$, имеющей единственной особенностью простой полюс в точке $s=1$ с вычетом 1.

Для вывода функционального уравнения $\zeta(s)$ предполагается, что $\sigma<0$, $N$ – целое $>4$. Пусть

$$J_N(s)=\frac{1}{2 \pi i} \int_{C(N)} \frac{z^{s-1}}{e^{-z}-1}\, d z,$$где $C(N)$ – контур, отличающийся от прежнего контура замыканием $\alpha, \gamma$ дугой окружности радиуса ${R}=2 N+1$ с центром в начале координат. Интеграл по внешней дуге контура $C(N)$ оценивается в виде $A R^\sigma e^{\pi|t|}$, что при $\sigma<0$ стремится к нулю при $N \rightarrow \infty$. Отсюда, $J_N(s) \rightarrow J(s)$ при $N \rightarrow \infty$. С другой стороны, по теореме о вычетах

$$\begin{aligned} J_N(s) & =\sum_{n=1}^N\left\{(2 \pi n i)^{s-1}+(-2 \pi i)^{s-1}\right\}= \\ & =2(2 \pi)^{s-1} \sin \frac{\pi s}{2} \sum_{n=1}^N n^{s-1}. \end{aligned}$$Поэтому при $\sigma<0$

$$J(s)=\lim J_N(s)=2(2 \pi)^{s-1} \sin \frac{\pi s}{2} \zeta(1-s).$$Это равенство в соединении с формулой (2) даёт соотношение:

$$\zeta(1-s)=2(2 \pi)^{-s} \cos \frac{\pi s}{2} \Gamma(s) \zeta(s),$$которое по теории аналитического продолжения имеет место уже во всей плоскости $s$ и называется функциональным уравнением дзета-функции Римана.

Метод комплексного интегрирования играет большую роль в получении приближённых функциональных уравнений, которые лежат в основе современных оценок функций Дирихле (Лаврик. 1967; 1968).

Метод комплексного интегрирования является основным в исследованиях распределения нулей функций $\zeta(s)$, $L(s, \chi)$ и др. До недавнего времени здесь он применялся в форме известных теоремы Литлвуда о числе нулей в прямоугольнике регулярной при $\sigma>0$ функции $F(s)$ и теоремы Баклунда об $\arg F(s)$, а также теорем о выпуклости средних значений аналитических функций (Титчмарш. 1953). В 1969 г. Х. Монтгомери (Монтгомери. 1974) нашёл новый прямой и более сильный путь использования метода комплексного интегрирования для этих целей.

Метод комплексного интегрирования в приложениях к теории чисел естественно возникает в связи с формулой суммирования коэффициентов рядов Дирихле (см. Титчмарш. 1953; Карацуба. 1972).