Ме́тод Фибона́ччи, разновидность одномерного поиска экстремума функции путём последовательного сужения интервала неопределённости. Единственное ограничение, налагаемое на исследуемую функцию$$f(x)\left(x \in\left(a_0, b_0\right) \subset \mathbb{R}^{\mathbf{1}}\right),$$– требование строгой унимодальности на заданном интервале.

При последовательном сужении значения $f(x)$ вычисляются (или замеряются) в заранее ограниченном числе $n$ пробных точек. В результате получается последовательность сужающихся интервалов неопределённости, содержащих искомый экстремум:$$\left(a_0, b_0\right) \supset\left(a_1, b_1\right) \supset \ldots \supset\left(a_n, b_n\right).$$Чтобы сузить интервал неопределённости для произвольной строго унимодальной функции, нужно знать не менее двух её пробных значений. В метод Фибоначчи внутри каждого текущего интервала неопределённости $(a_i, b_i)$ подбираются ровно две пробные точки симметрично от середины интервала. Далее, от одной из пробных точек отбрасывается конец интервала с наихудшими значениями $f(x)$. Получается $(a_{i+1}, b_{i+1})$, где в дополнение к оставшейся старой пробной точке симметрично строится новая. Отсюда для длин интервалов$$\Delta_i=b_i-a_i$$следует рекуррентное уравнение$$\Delta_i=\Delta_{i+1}+\Delta_{i+2}.$$(Помимо прочего выше предполагалось, что выполнено условие перекрывания $\Delta_1<2 / 3 \cdot \Delta_0$.)

Решение уравнения при условии $\Delta_{n+1}=\Delta_{n+2}$ даёт$$\Delta_i=\frac{F_{n+3-i}}{F_{n+2}} \Delta_0,\quad i=2, \ldots, n,$$где $F_{(.)}$ – числа Фибоначчи.

Точка экстремума $x_{\text {opt }} \approx\left(a_n+b_n\right) / 2$.

В простейшем варианте метод Фибоначчи (когда предполагается, что пробные точки и пробные значения $f(x)$ определяются абсолютно точно), чтобы сузить исходный интервал неопределённости с $\Delta$ до $\varepsilon$, надо взять число $n$ пробных точек из неравенства $2 \Delta / \varepsilon \leqslant F_{n+2}$. С учётом поправок на точность определения значений функции вышеприведённая оценка несколько усложняется.

Существует предел$$\tau=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{F_n}{F_{n+1}}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}=0,618033989 \ldots\!\text{.}$$Это даёт основание ввести метод золотого сечения – такой вариант метода Фибоначчи, где $\forall_i \Delta_{i+1}=\tau \Delta_i$, то есть пробные точки осуществляют золотое сечение текущего интервала. Преимущество последнего метода заключается в том, что число пробных точек заранее не планируется.

Разработаны модификации метода Фибоначчи для нефинитных функций, для сокращения вычислений при равенстве $f(x)$ в двух пробных точках, для повышения устойчивости счёта и др.

Метод Фибоначчи значительно превосходит по эффективности дихотомию (см. в статье Метод половинного деления). Однако для оптимизации дифференцируемых функций метод Фибоначчи малоцелесообразен (см. в статьях Метод спуска, Максимизация и минимизация функций).