Крите́рий Ре́ньи, статистический критерий, применяемый для проверки простой непараметрической гипотезы $H_0$, согласно которой независимые одинаково распределённые случайные величины $X_1, \ldots, X_n$ имеют заданную непрерывную функцию распределения $F(x)$, против альтернатив следующего вида:$$\begin{gathered} H_1^{+}: \sup _{|x|<\infty} \Psi[F(x)]\left(\mathsf{E} F_n(x)-F(x)\right)>0, \\ H_1^{-}: \inf _{|x|<\infty} \psi[F(x)]\left(\mathsf{E} F_n-(x) F(x)\right)<0, \\ H_1: \sup _{|x|<\infty} \psi[F(x)]\left|\mathsf{E} F_n(x)-F(x)\right|>0, \end{gathered}$$где $F_n(x)$ – функция эмпирического распределения, построенная по выборке $X_1, \ldots, X_n$, $\psi(F),$ $\psi \geqslant 0$, – весовая функция. В случае если$$\psi[F(x)]=\left\{\begin{array}{cl} 1 / F(x) & \text { при } F(x) \geqslant a, \\ 0 & \text { при } F(x)<a, \end{array}\right.$$где $a$ – любое фиксированное число из отрезка $[0,1]$, то критерий Реньи, предназначенный для проверки $H_0$ против указанных альтернатив $H_1^{+}$, $H_1^{-}$, $H_1$, основан на соответствующих им статистиках Реньи:$$\begin{gathered} R_n^{+}(a, 1)=\sup _{F(x) \geqslant a} \frac{F_n(x)-F(x)}{F(x)}=\max _{F\left(X_{(m)}\right) \geqslant a} \frac{\frac{m}{n}-F\left(X_{(m)}\right)}{F\left(X_{(m)}\right)}, \\ R_n^{-}(a, 1)=-\inf _{F(x) \geqslant a} \frac{F_n(x)-F(x)}{F(x)}=\max _{F\left(X_{(m)}\right) \geqslant a} \frac{F\left(X_{(m)}\right)-\frac{m-1}{n}}{F\left(X_{(m)}\right)}, \\ R_n(a, 1)=\sup _{F(x) \geqslant a} \frac{\left|F_n(x)-F(x)\right|}{F(x)}=\max \left\{R_n^{+}(a, 1), R_n^{-}(a, 1)\right\}, \end{gathered}$$где $X_{(1)}, X_{(2)}, \ldots, X_{(n)}$ – члены вариационного ряда$$X_{(1)} \leqslant X_{(2)} \leqslant \ldots \leqslant X_{(n)},$$построенного по наблюдениям $X_1, \ldots, X_{(n)}$.

Статистики $R_n^{+}(a, 1)$ и $R_n^{-}(a, 1)$ подчиняются одному и тому же вероятностному закону, и если $0<a \leqslant 1$, то$$\tag{1}\lim _{n \rightarrow \infty} \mathrm{P}\left\{\sqrt{\frac{n a}{1-a}} R_n^{+}(a, 1)<x\right\}=2 \Phi(x)-1,\quad x>0,$$$$\tag{2}\lim _{n \rightarrow \infty} \mathrm{P}\left\{\sqrt{\frac{n a}{1-a}} R_n(a, 1)<x\right\}=L(x),\quad x>0,$$где $\Phi(x)$ – функция распределения стандартного нормального закона, $L(x)$ – функция распределения Реньи, определяемая формулой:$$L(x)=\frac{4}{\pi} \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{2 k+1} \exp \left\{-\frac{(2 k+1)^2 \pi^2}{8 x^2}\right\}.$$В случае если $a=0$, то$$\mathsf{P}\left\{R_n^{+}(0,1) \geqslant x\right\}=1-\frac{x}{1+x},\quad x>0.$$Из (1) и (2) следует, что при больших значениях $n$ для вычисления $Q$-процентных критических значений $(0 \%<Q<50 \%)$ для статистик $R_n^{+}(a, 1)$ и $R_n(a, 1)$ можно воспользоваться следующими приближёнными значениями:$$\sqrt{\frac{1-a}{n a}} \Phi^{-1}(1-0,005 Q) \quad \text { и } \quad \sqrt{\frac{1-a}{n a}} L^{-1}(1-0,01 Q)$$соответственно, где $\Phi^{-1}(x)$ и $L^{-1}(x)$ – функции, обратные $\Phi(x)$ и $L(x)$ соответственно, при этом имеют в виду, что если $0 \%<Q<10 \%$, то $\Phi^{-1}(1-0,005 Q) \approx L^{-1}(1-0,02 Q)$.

Кроме того, если $x>2,99$, то при вычислении значений функции распределения Реньи $L(x)$ рекомендуется пользоваться приближённым равенством$$L(x) \approx 4 \Phi(x)-3,$$погрешность которого не превосходит $5 \cdot 10^{-7}$.

Кроме рассмотренных критериев Реньи, существуют аналогичные критерии, отвечающие весовой функции$$\psi[F(x)]=\left\{\begin{array}{cc} \frac{1}{1-F(x)}, & \text { если } F(x) \leqslant a, \\ 0, & \text { если } F(x)>a, \end{array}\right.$$где $a$ – любое фиксированное число из отрезка $[0,1]$.