Краева́я зада́ча для обыкнове́нного дифференциа́льного уравне́ния, задача о нахождении решения уравнения

$$\frac{d x}{d t}=f(t, x), \quad t \in J,\quad x \in \mathbb{R}^n, \tag{1}$$принадлежащего заданному множеству $D$ пространства $D\left(J, \mathbb{R}^n\right)$ абсолютно непрерывных на $J$ функций от $t$ со значениями в $\mathbb{R}^n$:

$$x(\cdot) \in D. \tag{2}$$Здесь функция $f(t, x)$ определена на $J \times \mathbb{R}^n$, принимает значения в $\mathbb{R}^n$ и удовлетворяет условиям Каратеодори; $J$ – промежуток числовой прямой $\mathbb{R}$.

1) Краевая задача (1), (2) называется линейной, если

$$f(t, x) \equiv A(t) x+b(t),$$где функции $A(t)$ и $b(t)$ суммируемы на каждом компактном промежутке из $J$; множество $D$ является линейным многообразием в $D\left(J, \mathbb{R}^n\right)$. В частности, может быть

$$\begin{gathered} J=\left[t_0, t_1\right], \\ D=\left\{x(\cdot) \in D\left(J, \mathbb{R}^n\right): \int_{t_0}^{t_1}[d \Phi(t)] x(t)=0\right\}, \end{gathered}$$где функция $\Phi(t)$ имеет ограниченную вариацию. Линейная краевая задача порождает линейный оператор

$$L x(t)=x^{\prime}-A(t) x,\quad x(\cdot) \in D,$$собственные значения которого являются теми значениями параметра $\lambda$, при которых однородная краевая задача

$$x^{\prime}-A(t) x=\lambda x,\quad x(\cdot) \in D,$$имеет нетривиальные решения. Эти нетривиальные решения суть собственные функции оператора $L$. Если обратный оператор $L^{-1}$ существует и имеет место интегральное представление

$$x(t)=L^{-1} b(t)=\int_J G(t, s) b(s)\, d s,\quad t \in J,$$то функция $G(t, s)$ называется функцией Грина.

2) Пусть $J=(-\infty, \infty)$, функция $f(t, x)$ почти периодична по $t$ равномерно относительно $x$ на каждом компактном подмножестве из $\mathbb{R}^n$, $D$ – множество абсолютно непрерывных на $J$ почти периодических функций от $t$. Тогда краевая задача (1), (2) называется задачей о почти периодических решениях.

3) В теории управления рассматриваются краевые задачи с функциональным параметром – управлением. Например, пусть задано уравнение

$$\frac{d x}{d t}=f(t, x, u),\quad t \in J=\left[t_0, t_1\right],\quad x \in \mathbb{R}^n, \tag{3}$$множество допустимых управлений $U$ и два множества $M_0, M_1 \subset \mathbb{R}^n$. Пусть $D$ – множество абсолютно непрерывных функций от $t$, удовлетворяющих включениям $x\left(t_0\right) \in M_0$, $x\left(t_1\right) \in M_1$. Краевая задача состоит в нахождении такой пары $\left(x_0(\cdot), u_0(\cdot)\right)$, что $u_0(\cdot) \in U$ и решение $x_0(t)$ уравнения (3) при $u=u_0(t)$ удовлетворяет условию $x_0(\cdot) \in D$.

4) Имеется большое количество разнообразных необходимых и достаточных условий существования, единственности решения разных краевых задач и методов построения приближённого решения (Красовский. 1968; Зубов. 2009; Камке. 1976; Кигурадзе. 1975). Рассмотрим, например, задачу

$$\left.\begin{aligned} &x^{\prime}=A(t) x+f(t, x), \\ &\int_{t_0}^{t_1}[d \Phi(t)] x(t)=0, \end{aligned}\right\} \tag{4}$$в которой

$$\|f(t, x)\| \leqslant a+b\|x\|^\alpha$$для некоторых постоянных $a>0$, $b>0$, $\alpha \geqslant 0$. Пусть соответствующая однородная задача

$$x^{\prime}=A(t) x,\quad \int_{t_0}^{t_1}[d \Phi(t)] x(t)=0 \tag{5}$$регулярна, т. е. имеет только тривиальное решение. Тогда задача (4) имеет по крайней мере одно решение, если либо $\alpha<1$, либо $\alpha \geqslant 1$ и $b$ достаточно мало. Исследование задачи (5) на регулярность является довольно сложной проблемой. Однако, например, линейная краевая задача (скалярная)

$$x^{\prime \prime}+q(t) x^{\prime}+p(t) x=0, \quad x\left(t_0\right)=0,\quad x\left(t_1\right)=0$$регулярна, если при $|q(t)| \leqslant 2 m$ найдётся такое $k \in \mathbb{R}$, что

$$\int_{t_0}^{t_1}[p(t)-k]_{+}\, d t \leqslant 2[F(k, m)-m],$$где

$$F(k, m)=\left\{\begin{aligned} &\sqrt{k-m^2} \operatorname{ctg} \frac{\left(t_1-t_0\right) \sqrt{k-m^2}}{2}, \\ &\qquad\qquad m^2< k\leqslant m^2+ \pi^2 (t_1-t_0)^{-2},\\ &\frac{2}{t_1-t_0}, \quad k=m^2, \\ &\sqrt{m^2-k} \operatorname{ctg} \frac{\left(t_1-t_0\right) \sqrt{m^2-k}}{2},\quad k<m^2. \end{aligned}\right.$$