Корреляцио́нный ана́лиз, раздел математической статистики, предназначенный для оценки корреляции между случайными величинами и проверки гипотез о значимости связи между ними. Корреляционный анализ статистических данных использует следующие основные практические приёмы: построение корреляционного поля и составление корреляционной таблицы; вычисление выборочных коэффициентов корреляции; проверку статистических гипотез значимости связи. Дальнейшее исследование может заключаться в установлении конкретного вида зависимости между величинами (см. Регрессионный анализ).

Вспомогательными средствами при анализе выборочных двумерных данных являются корреляционное поле и корреляционная таблица. Корреляционное поле получают, нанося выборочные точки на координатную плоскость. По характеру расположения точек поля можно составить предварительное представление о форме зависимости случайных величин (например, о том, что одна величина в среднем возрастает или убывает при возрастании другой). Для численной обработки результаты обычно группируют и представляют в форме корреляционной таблицы. В каждой клетке этой таблицы приводятся численности $n_{ij}$ тех пар $(x,y)$, компоненты которых попадают в соответствующие интервалы группировки по каждой переменной. Обычно длины интервалов группировки (по каждой из переменных) выбирают равными между собой и центры $x_i$ (соответственно $y_j$) этих интервалов и числа $n_{ij}$ используют в качестве основы для расчётов.

Корреляционная таблица позволяет, в частности, вычислить выборочный коэффициент корреляции и выборочное корреляционное отношение. Выборочный коэффициент корреляции определяется по формуле $$\hat\rho=\frac{\displaystyle\sum\nolimits_i\sum\nolimits_j(x_i-\bar x)(y_j-\bar y)n_{ij}}{\sqrt{\displaystyle\sum\nolimits_i n_{i\cdot}(x_i-\bar x)^2}\sqrt{\displaystyle\sum\nolimits_jn_{\cdot j}}(y_j-\bar y)^2},$$где

$$\begin{gathered}n_{i \cdot}=\sum\nolimits_jn_{ij},\quad n_{\cdot j}=\sum\nolimits_in_{ij}\\ \bar x=\sum\nolimits_in_{i \cdot}x_i/n,\quad \bar y=\sum\nolimits_j n_{\cdot j}y_j/n.\end{gathered}$$При большом числе независимых наблюдений, подчинённых одному и тому же распределению, близкому к нормальному, $\hat ρ$ близок к истинному коэффициенту корреляции $ρ$ . В других случаях в качестве характеристики связи между $X$ и $Y$ рекомендуется использовать корреляционное отношение $η_{Y|X}^2$, интерпретация которого не зависит от вида исследуемой зависимости. Выборочное значение $\hat η^2_{Y|X}$ вычисляется по данным корреляционной таблицы: $$\hat η^2_{Y|X}=\frac{\displaystyle\sum\nolimits_i n_{i \cdot}(\bar y_i- \bar y)^2/n}{\displaystyle\sum\nolimits_j n_{\cdot j}(y_j- \bar y)^2/n},$$где числитель характеризует рассеяние условных средних значений $\bar y_i$ около безусловного среднего $\bar y$ (аналогично определяется выборочное значение $\hat η^2_{X|Y}$). Величина $\hat η^2_{Y|X}-\hat\rho^2$ используется в качестве индикатора отклонения регрессии от линейной.

Один из методов проверки гипотезы о значимости связи между $X$ и $Y$ основывается на распределении выборочного коэффициента корреляции. В случае нормального распределения величина выборочного коэффициента корреляции $\hat\rho$ считается значимо отличной от нуля, если выполняется неравенство $$\hat\rho^2>(1+(n-2)/t^2_α)^{-1},$$где $t_α$ есть квантиль порядка $α$ распределения Стьюдента с $n-2$ степенями свободы, соответствующая выбранному уровню значимости $α$. В случае $ρ≠0$ часто используют т. н. $z$-преобразование Фишера, заменяя величину $\hat\rho$ на $$z={1\over2}\ln\frac{1+\hat\rho}{1-\hat\rho}.$$Уже при сравнительно небольших $n$ распределение величины $z$ хорошо приближается нормальным распределением с математическим ожиданием, равным $${1\over2}\ln\frac{1+\rho}{1-\rho}+\frac{\rho}{2(n-1)},$$и дисперсией, равной $1/(n-3)$. Из этого можно определить интервалы (доверительные границы) для истинного коэффициента корреляции $ρ$.