Контрагредие́нтное представле́ние, для представления $\varphi$ группы $G$ в линейном пространстве $V$ контрагредиентное представление – это представление $\varphi^*$ этой же группы $G$ в двойственном к $V$ пространстве $V^*$, определяемое правилом:$$\varphi^*(g) = \varphi(g^{-1})^*$$для любого $g\in G$, где ${}^*$ означает переход к сопряжённому оператору.

Более общо, если $W$ – линейное пространство над тем же полем $k$, что и пространство $V$, а $(\ ,\ )$ – невырожденная билинейная форма (спаривание) на $V\times W$ со значениями в $k$, то представление $\varphi$ группы $G$ в $W$ называется контрагредиентным представлением к представлению $\varphi$ относительно формы $(\ ,\ )$, если$$(\varphi(g) x, y) = (x,\psi(g^{-1})y)$$для любых $g\in G$, $x\in V$, $y\in W$.

Например, если $G$ – полная линейная группа конечномерного пространства $V$, то естественное представление $G$ в пространстве ковариантных тензоров фиксированного ранга на $V$ является контрагредиентным представлением относительно канонического спаривания к естественному представлению $G$ в пространстве контравариантных тензоров того же ранга на $V$.

Пусть $V$ конечномерно над $k$ и $(e)$ – его базис, а $(f)$ – дуальный к $(e)$ базис в $V^*$. Тогда для любого $g$ из $G$ матрица оператора $\varphi^*(g)$ в базисе $(f)$ получается из матрицы оператора $\varphi(g)$ в базисе $(e)$ транспонированием и переходом к обратной. Если $\varphi$ неприводимо, то и $\varphi^*$ неприводимо. Если $G$ – группа Ли с алгеброй Ли $\mathfrak g$, а $d\varphi$ и $d\psi$ – представления алгебры $\mathfrak g$, индуцированные соответственно представлениями $\varphi$ и $\psi$ группы $G$ в пространствах $V$ и $W$, контрагредиентными относительно спаривания $(\ ,\ )$, то$$(d\varphi (X)(x),y) = - (x,d\psi(X)y)\tag{$*$}$$для всех $X\in\mathfrak g$, $x\in V$, $y\in W$. Представления алгебры Ли $\mathfrak g$, удовлетворяющие условию $(*)$, также называются контрагредиентными представлениями относительно $(\ ,\ )$.

Пусть далее $G$ – комплексная связная односвязная полупростая группа Ли и $\varphi$ – её неприводимое конечномерное представление в линейном пространстве $V$. Веса представления $\varphi^*$ противоположны весам представления $\varphi$, младший вес представления $\varphi^*$ противоположен старшему весу представления $\varphi$ (см. Теорема Картана о старшем векторе). Представления $\varphi$ и $\varphi^*$ эквивалентны тогда и только тогда, когда на $V$ существует ненулевая инвариантная относительно $\varphi(G)$ билинейная форма. Если такая форма существует, то она невырождена и либо симметрична, либо кососимметрична. Набор числовых отметок старшего веса представления $\varphi^*$ получается из набора числовых отметок представления $\varphi$ применением подстановки, индуцированной следующим автоморфизмом $v$ схемы простых корней $\Delta$ группы $G$:

а) $v$ переводит каждую связную компоненту $\Delta_i$, $i = 1 , \dots, l$, схемы $\Delta$ в себя;

б) если $\Delta_i$ – схема типа $A_r$, $D_{2r+1}$ или $E_6$, то сужение $v$ на $\Delta_i$ однозначно определяется как единственный элемент второго порядка в группе автоморфизмов схемы $\Delta_i$, в остальных случаях сужение $v$ на $\Delta_i$ тождественно.